Sebuah langkah aneh pada bukti tentang distribusi bentuk kuadratik

9

Teorema berikut ini berasal dari edisi ke-7 " Pengantar Statistik Matematika " oleh Hogg, Craig dan Mckean dan menyangkut kondisi yang diperlukan dan cukup untuk independensi dua bentuk kuadrat variabel normal.

Ini adalah ekstrak agak panjang tapi apa yang saya akan menghargai bantuan dengan hanya transisi dari 9.9.6 ke 9.9.7 . Saya telah memasukkan langkah-langkah sebelumnya hanya untuk memberikan gambaran keseluruhan seandainya hasil sebelumnya secara implisit digunakan. Bisakah Anda membantu saya memahami mengapa 9.9.6 dan 9.9.7 adalah representasi yang setara? Saya telah mencoba menurunkan 9,9.7 saya sendiri tetapi semua upaya saya berakhir dengan frustrasi.

Buktinya berjalan setelah itu tetapi saya tidak punya masalah lain. Terima kasih sebelumnya.

masukkan deskripsi gambar di sini

self-study mathematical-statistics quadratic-form JohnK
sumber

7

(9.9.6) menyatakan itu

A B = {Γ_{11}^{'} Λ_{11}} Γ_{11} Γ_{21}^{'} {Λ_{22} Γ_{21}} = U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V

${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$ Karenanya mengalikan kiri dan kanan dengan

U^{'}

$\mathbf{U}'$ dan

V^{'}

$\mathbf{V}'$ , kita mendapatkan

U^{'} A B V^{'} = U^{'} U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V V^{'}

$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$ dan

(U^{'} U)^{- 1} U^{'} A B V^{'} (V V^{'})^{- 1} = Γ_{11} Γ_{21}^{'}

$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$ Saya tidak melihat alasan untuk batin

U^{'}

$\mathbf{U}'$ dan

V^{'}

$\mathbf{V}'$ untuk menghilang jadi saya akan bertaruh pada kesalahan ketik. Namun kesimpulannya tetap sama, yaitu itu

Γ_{11} Γ_{21}^{'} = 0

$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$ jika dan hanya jika

A B = 0

$\mathbf{{AB}}=0$

Xi'an
sumber

Ya itu adalah kereta pikiran saya tepatnya, terima kasih. Saya melihat daftar errata untuk buku ini tetapi ini tidak ada di dalamnya jadi saya merasa sangat membingungkan.

JohnK

7

Saya menghubungi penulis Profesor Joseph W. McKean yang mengetahui kesalahan itu dan dengan ramah menawarkan koreksi. Saya mempostingnya di sini, kalau-kalau ada orang lain yang belajar sendiri membutuhkannya.

Setelah (9.9.6) tulis:

Membiarkan $\mathbf{U}$ menunjukkan matriks pada set kawat gigi pertama. Catat itu $\mathbf{U}$ memiliki peringkat kolom penuh, jadi kernelnya nol; yaitu, kernelnya terdiri dari vektor $\mathbf{0}$ . Membiarkan $\mathbf{V}$ menunjukkan matriks pada set kedua kawat gigi. Catat itu $\mathbf{V}$ memiliki peringkat baris penuh, karenanya kernel $\mathbf{V}^{\prime}$ adalah nol.

Sebagai buktinya, anggaplah $\mathbf{AB}=\mathbf{0}$ . Kemudian

U [Γ_{11} Γ_{21}^{'} V] = 0

$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$

Karena kernel dari $\mathbf{U}$ is null ini mengimplikasikan bahwa setiap kolom dari matriks dalam tanda kurung adalah $\mathbf{0}$ . Ini menyiratkan bahwa

V^{'} [Γ_{21} Γ_{11}] = 0

$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$

Dengan cara yang sama, karena kernel $\mathbf{V}^{\prime}$ adalah nol yang kita miliki $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$ . Oleh karena itu oleh $\left(9.9.5 \right)$ ...

(dan buktinya berlanjut untuk arah lain)

JohnK
sumber

Sebuah langkah aneh pada bukti tentang distribusi bentuk kuadratik

Jawaban: