Bisakah efek acak hanya berlaku untuk variabel kategori?

Pertanyaan ini mungkin terdengar bodoh, tetapi ... apakah benar bahwa efek acak hanya dapat berlaku untuk variabel kategori (seperti id individu, id populasi, ...), misalkan katakanlah adalah variabel kategori:$x_i$

$y_i$ ~$\beta_{x_i}$

$\beta_{x_i}$ ~$Norm(\mu, \delta^2)$

tetapi dari prinsipnya efek acak tidak dapat berlaku untuk variabel kontinu (seperti tinggi, massa ...), katakan :$z_i$

$y_i$ ~$\alpha + \beta \cdot z_{i}$

karena dengan demikian hanya ada satu koefisien yang tidak dapat dibatasi? Kedengarannya logis tetapi saya bertanya-tanya mengapa itu tidak pernah disebutkan dalam literatur statistik! Terima kasih!$\beta$

EDIT: Tapi bagaimana jika saya membatasi seperti ~ ? Apakah itu efek acak? Tapi ini berbeda dari batasan yang saya pakai pada - di sini saya membatasi variabel sedangkan pada contoh sebelumnya saya membatasi koefisien ! Itu mulai terlihat sebagai kekacauan besar bagi saya ... Pokoknya, tidak masuk akal untuk menempatkan batasan ini, karena adalah nilai yang diketahui, jadi mungkin ide ini benar-benar aneh :-)z i N o r m ( μ , δ 2 ) β x $z_i$$z_i$$Norm(\mu, \delta^2)$$\beta_{x_i}$$z_i$

Ini adalah pertanyaan yang bagus dan sangat mendasar.

Penafsiran efek acak sangat spesifik-domain dan tergantung pada pilihan pemodelan (model statistik atau menjadi Bayesian atau sering). Untuk diskusi yang sangat bagus, lihat halaman 245, Gelman dan Hill (2007) . Untuk Bayesian semuanya acak (meskipun parameter mungkin memiliki nilai tetap yang benar, mereka dimodelkan sebagai acak), dan frequentist juga dapat memilih nilai parameter untuk menjadi efek tetap yang seharusnya dimodelkan sebagai acak (lihat Casella, 2008 , diskusi tentang blok yang harus diperbaiki atau acak dalam contoh 3.2).

Edit (setelah komentar)

Data diperbaiki setelah Anda mengamatinya. Jika kontinu, mereka harus dimodelkan sebagai kontinu. Anda bisa memodelkan variabel kategori sebagai kategori dan kadang-kadang sebagai kontinu (seperti dalam pengaturan variabel ordinal). Parameter tidak diketahui dan mereka dapat dimodelkan sebagai tetap atau acak. Parameter dasarnya menghubungkan respons dengan prediktor. Jika Anda ingin kemiringan prediktor individual (atau koefisiennya dalam model linier) berbeda-beda untuk setiap respons, modelkan secara acak, jika tidak modelkan sebagai tetap. Demikian pula, jika Anda ingin intersep bervariasi mengenai kelompok, maka mereka harus dimodelkan sebagai acak; kalau tidak mereka harus diperbaiki.

Pertanyaan Anda mungkin sudah dipecahkan, tetapi sebenarnya ditulis dalam buku teks;

Efek acak adalah variabel kategori yang levelnya dipandang sebagai sampel dari beberapa populasi yang lebih besar, sebagai kebalikan dari efek tetap, yang levelnya menarik bagi hak mereka sendiri,

pada halaman 232 dari: Alan Grafen dan Rosie Hails (2002) "Statistik modern untuk ilmu kehidupan", Oxford University Press.

Saya pikir masalahnya adalah ada dua hal yang terlibat di sini. Contoh khas dari efek acak mungkin memprediksi nilai rata-rata (IPK) seorang mahasiswa berdasarkan sejumlah faktor termasuk skor rata-rata mereka dalam serangkaian tes selama sekolah menengah.

Skor rata-rata kontinu . Anda biasanya memiliki intersep yang bervariasi, atau intersep dan kemiringan, untuk skor rata-rata untuk setiap individu. Individu jelas kategoris .

Jadi, ketika Anda mengatakan "hanya berlaku untuk variabel kategori" itu agak kabur. Katakanlah Anda hanya mempertimbangkan intersepsi acak untuk skor rata-rata. Dalam hal ini, intersep acak Anda untuk kuantitas kontinu dan pada kenyataannya mungkin dimodelkan sebagai sesuatu seperti variabel gaussian dengan mean dan standar deviasi yang akan ditentukan oleh prosedur. Tetapi intersepsi acak ini ditentukan pada populasi siswa di mana setiap siswa diidentifikasi oleh variabel kategori.

Anda bisa menggunakan variabel "berkelanjutan" sebagai ganti ID siswa. Mungkin Anda bisa memilih tinggi siswa. Tetapi pada dasarnya harus diperlakukan seolah-olah itu kategoris. Jika pengukuran tinggi badan Anda sangat tepat, Anda akan kembali dengan ketinggian yang unik untuk setiap siswa sehingga tidak ada yang berbeda. Jika pengukuran tinggi badan Anda tidak terlalu tepat, Anda akhirnya akan menyamakan banyak siswa pada setiap ketinggian. (Mencampur skor mereka dengan cara yang mungkin tidak jelas.)

Ini adalah semacam kebalikan dari interaksi. Dalam interaksi, Anda mengalikan dua variabel dan pada dasarnya memperlakukan keduanya sebagai kontinu. Variabel kategorikal akan dipecah menjadi seperangkat variabel dummy 0/1 dan 0 atau 1 akan dikalikan kali variabel lain dalam interaksi.

Intinya adalah bahwa "efek acak" dalam arti tertentu hanya koefisien yang memiliki distribusi (dimodelkan) daripada nilai tetap.