Menghasilkan Variabel Acak Binomial dengan Korelasi yang diberikan

8

Misalkan saya tahu cara membuat Variabel Acak Binomial independen. Bagaimana saya bisa menghasilkan dua variabel acakX dan Y seperti yang

XBin(8,23),YBin(18,23)  and  Corr(X,Y)=0.5

Saya berpikir untuk mencoba menggunakan fakta itu X dan YρX independen di mana ρ=Corr(X,Y) tapi saya tidak berpikir begitu XρYdidistribusikan secara Binomi jadi saya tidak dapat menggunakan metode ini. Jika ini berhasil maka saya akan menghasilkan dua variabel acak Binomial, katakanlahA dan B, lalu atur X=A dan YρX=Byaitu dan karenanya saya akan mendapatkan pasangan . Tapi saya tidak bisa melakukan ini karena tidak didistribusikan secara Binomially.Y=B+ρA(X,Y)YρX

Setiap petunjuk akan dihargai tentang cara melanjutkan.

Landon Carter
sumber
Sebenarnya masalah ini datang dalam ujian semester, jadi ini bukan pekerjaan rumah, tapi Anda bisa menyebutnya belajar mandiri, saya kira. Menambahkan tag.
Landon Carter

Jawaban:

8

Anda tidak dapat menggunakan representasi linear korelasi dalam distribusi dukungan diskrit.

Dalam kasus khusus distribusi Binomial, representasi

X=i=18δiY=i=118γiδi,γiB(1,2/3)
dapat dieksploitasi sejak itu
cov(X,Y)=i=18j=118cov(δi,γj)
Jika kita memilih beberapa δiharus sama dengan beberapa γjJika tidak, dan dihasilkan secara independen, kami memperoleh
cov(X,Y)=i=18j=118I(δi:=γj)var(γj)
dimana notasinya I(δi:=γj) mengindikasikan bahwa δi dipilih identik dengan γj daripada dihasilkan sebagai Bernoulli B(1,2/3).

Karena batasannya adalah

cov(X,Y)=0.5×8×18×23×13
kita harus menyelesaikannya
i=18j=118I(δi:=γj)=0.5×8×18=6
Ini berarti bahwa jika kita memilih 6 dari 8 δiSama dengan 6 dari 18 γjKita harus mendapatkan korelasi 0,5 ini.

Implementasinya berjalan sebagai berikut:

  1. Menghasilkan ZB(6,2/3), Y1B(12,2/3), X1B(2,2/3);
  2. Dibutuhkan X=Z+Z1 dan Y=Z+Y1

Kita dapat memeriksa hasil ini dengan simulasi R.

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

Komentar

Ini adalah solusi yang agak artifisial untuk masalah karena hanya berhasil karena 8×18 adalah kuadrat sempurna dan karena cor(X,Y)×8×18adalah bilangan bulat. Untuk korelasi yang dapat diterima lainnya, pengacakan akan diperlukan, yaituI(δi:=γj) akan menjadi nol atau satu dengan beberapa probabilitas ϱ.

Tambahan

Masalahnya telah diusulkan dan diselesaikan bertahun-tahun yang lalu di Stack Overflow dengan ide yang sama untuk berbagi Bernoullis.

Xi'an
sumber
1
+1. Kamu tidak butuh itu8×18menjadi persegi. Kondisi untuk Kor(X,Y)=ρ untuk memiliki solusi (melalui metode ini) untuk X Binomial(n,p) dan Y Binomial(m,q) adalah (1) p=q dan (2) 0ρmnmin(m,n)adalah bilangan bulat. Untuk negatif tertentu , menggunakan distribusi multinomial memberikan solusi. Pendekatan yang lebih umum - tetapi lebih sulit - akan menggunakan copulas. ρ
whuber
@whuber: untuk korelasi negatif, saya pertama kali berpikir untuk menggunakan tapi jelas tidak berhasil. Bisakah Anda mengembangkan solusi generik? (Saya juga memikirkan kopula, tetapi mengkalibrasi kopula untuk mencapai korelasi yang tepat adalah bisnis yang buruk, bukan ?!1γj
Xi'an
Xi'an, saya ingin bertanya kepada Anda apakah metode yang Anda gunakan adalah metode standar. Ini karena saya banyak mencari di internet dan tidak dapat menemukan apa pun.
Landon Carter
2
Saya setuju dengan Anda - Saya tidak ingin bekerja dengan copulas itu! Tetapi mereka setidaknya menunjukkan bahwa solusi harus ada (dalam batas-batas tertentu pada , tergantung pada parameter lain) dalam pengaturan yang paling umum. Akan menarik untuk mengetahui apakah konstruksi yang lebih sederhana, seperti yang Anda berikan di sini, dapat dibawa untuk menangani kasus di mana atau . Yedaynara: metode pemisahan dua variabel menjadi adalah standar untuk setiap keluarga parametrik yang ditutup dengan penambahan; dan hanya itu yang terjadi di sini. ρpqρ<0X,YX+Z,Y+Z
Whuber
@yedaynara: Saya terkejut Anda tidak dapat menemukan "apa pun" karena saya menggunakan Google "simulasi simulasi Binomial" dan segera menemukan posting ini di Stack Overflow .
Xi'an