Dadu 6 sisi digulung berulang-ulang. Berapa jumlah gulungan yang diharapkan untuk menghasilkan jumlah yang lebih besar dari atau sama dengan K?
Sebelum Mengedit
P(Sum>=1 in exactly 1 roll)=1
P(Sum>=2 in exactly 1 roll)=5/6
P(Sum>=2 in exactly 2 rolls)=1/6
P(Sum>=3 in exactly 1 roll)=5/6
P(Sum>=3 in exactly 2 rolls)=2/6
P(Sum>=3 in exactly 3 rolls)=1/36
P(Sum>=4 in exactly 1 roll)=3/6
P(Sum>=4 in exactly 2 rolls)=3/6
P(Sum>=4 in exactly 3 rolls)=2/36
P(Sum>=4 in exactly 4 rolls)=1/216
Setelah Edit
P(Sum>=1 in atleast 1 roll)=1
P(Sum>=2 in atleast 1 roll)=5/6
P(Sum>=2 in atleast 2 rolls)=1
P(Sum>=3 in atleast 1 roll)=4/6
P(Sum>=3 in atleast 2 rolls)=35/36
P(Sum>=3 in atleast 3 rolls)=1
P(Sum>=4 in atleast 1 roll)=3/6
P(Sum>=4 in atleast 2 rolls)=33/36
P(Sum>=4 in atleast 3 rolls)=212/216
P(Sum>=4 in atleast 4 rolls)=1
Saya tidak yakin ini benar pertama-tama dan tetapi saya pikir probabilitas ini terkait dengan jumlah gulungan yang diharapkan?
Tapi saya tidak tahu bagaimana melangkah lebih jauh. Apakah saya melanjutkan ke arah yang benar?
self-study
mean
expected-value
dice
saddlepoint-approximation
Tersangka Biasa
sumber
sumber
Jawaban:
Sejauh ini hanya beberapa ide untuk pendekatan lain yang lebih tepat, berdasarkan pengamatan yang sama dengan jawaban pertama saya. Dengan waktu saya akan memperpanjang ini ...
Pertama, beberapa notasi. Biarkan menjadi bilangan bulat, positif (besar). Kami ingin distribusi N , yang merupakan jumlah minimum melempar sebuah dadu biasa untuk mendapatkan jumlah setidaknya K . Jadi, pertama kita mendefinisikan X i sebagai hasil dadu membuang i , dan X ( n ) = X 1 + ⋯ + X n . Jika kita dapat menemukan distribusi X ( n ) untuk semua n maka kita dapat menemukan distribusi N dengan menggunakan P ( N ≥K N K Xi i X(n)=X1+⋯+Xn X(n) n N
dan kita selesai.
Sekarang, nilai yang mungkin untuk adalah n , n + 1 , n + 2 , ... , 6 n , dan untuk k dalam kisaran itu, untuk menemukan probabilitas P ( X 1 + ⋯ + X n = k ) , kita perlu menemukan jumlah total cara untuk menulis k sebagai jumlah dari tepat n bilangan bulat, semua dalam kisaran 1 , 2 , ...X1+⋯+Xn n , n + 1 , n + 2 , … , 6 n k P( X1+ ⋯ + Xn= k ) k n . Tapi itu disebut komposisi integer terbatas, masalah yang dipelajari dengan baik dalam kombinatorik. Beberapa pertanyaan terkait pada matematika SE ditemukan oleh https://math.stackexchange.com/search?q=integer+compositions1 , 2 , … , 6
Jadi mencari dan mempelajari literatur kombinatorik kita bisa mendapatkan hasil yang tepat dan tenang. Saya akan menindaklanjutinya, tapi nanti ...
sumber
Ada formula tertutup sederhana dalam hal akar polinomial derajat-6.
Sebenarnya sedikit lebih mudah untuk mempertimbangkan kematian umum yang umum dengand≥ 2 wajah yang berlabel angka 1 , 2 , ... , d.
Biarkanek menjadi jumlah yang diharapkan dari gulungan yang dibutuhkan untuk sama atau melebihi k . Untuk k ≤ 0 , ek= 0. Kalau tidak, ekspektasinya adalah lebih dari ekspektasi jumlah gulungan untuk mencapai nilai sebelumnya, yang akan berada di antara k - d, k - d+ 1 , ... , k - 1 , mana
Hubungan perulangan linier ini memiliki solusi dalam bentuk
dimanaλi adalah d akar kompleks dari polinomial
Konstantaai ditemukan dengan menerapkan solusi (2) ke nilai k=−(d−1),−(d−2),…,−1,0 mana ek=0 dalam setiap kasus. Ini memberikan satu set persamaan linear d dalam konstanta d dan ia memiliki solusi unik. Solusi itu dapat ditunjukkan dengan memverifikasi perulangan (1) menggunakan fakta bahwa setiap root memuaskan (3):
Solusi bentuk tertutup ini memberi kami cara yang baik untuk memperkirakan jawaban serta mengevaluasinya secara akurat. (Untuk nilaik, kecil sampai sedang , aplikasi langsung dari perulangan adalah teknik komputasi yang efektif.) Sebagai contoh, dengan d=6 kita dapat dengan mudah menghitung
Untuk perkiraan, akan ada akar unik terbesarλ+=1 sehingga akhirnya (untuk k cukup besar ) istilah λk+ akan mendominasi istilah d dalam (2). Kesalahan akan menurun secara eksponensial sesuai dengan norma terkecil kedua dari akar. Melanjutkan contoh dengan k=6, koefisien λ+ adalah a+=0.4761905 dan berikutnya terkecil norma adalah 0.7302500. (Kebetulan, yang lain ai cenderung sangat dekat dengan1 dalam ukuran.) Jadi kita dapat mendekati nilai sebelumnya sebagai
dengan kesalahan pada urutan0.7302500106≈10−314368.
Untuk menunjukkan seberapa praktis solusi ini, berikut ini adalahek untuk setiap k (dalam lingkup perhitungan titik mengambang presisi ganda) dan tidak terlalu besar d (itu akan macet sekali d≫100 ):
R
kode yang mengembalikan fungsi untuk mengevaluasiSebagai contoh penggunaannya, ini menghitung ekspektasi untukk=1,2,…,16:
Objek itu kembali meliputi akarλi dan pengganda mereka ai untuk analisa lebih lanjut. Komponen pertama dari array pengganda adalah koefisien yang berguna a+.
(Jika Anda ingin tahu untuk apa parameter lainnya
die
, jalankandie(2, 2, 0, c(1,0))$f(1:10)
dan lihat apakah Anda mengenali output ;-). Generalisasi ini membantu dalam mengembangkan dan menguji fungsi.)sumber
die
memberikan kesalahan bagi saya:object 'phi' not found
.phi
kea
) untuk mencocokkan teks adalah biang keladinya. Saya telah memperbaiki (dan memeriksanya).tidak ada cara untuk mendapatkan jumlah gulungan yang diharapkan secara umum, tetapi untuk K.
Misalkan N adalah acara rolling yang diharapkan untuk mendapatkan jumlah => K.
untuk K = 1, E (N) = 1
untuk K = 2,E( N) = ( 56+ 2 ∗ 1 ) / ( 56+ 1 ) = 1711
dan seterusnya.
Akan sulit untuk mendapatkan E (N) untuk K. besar misalnya, untuk K = 20 Anda harus mengharapkan dari (4 gulungan, 20 gulungan)
Anda tahu K, Z (pada kesalahan apa pun) ........ maka Anda bisa mendapatkan N = E (N) pada tingkat kepercayaan% dengan menyelesaikan persamaan.
sumber
Selanjutnya, kita harus menyelesaikan persamaan saddlepoint.
Itu dilakukan oleh kode berikut:
Fungsi untuk mengembalikan probabilitas ekor:
#
Dan seterusnya. Dengan menggunakan semua ini, Anda bisa mendapatkan perkiraan untuk ekspektasi sendiri. Ini harus jauh lebih baik daripada perkiraan berdasarkan teorema limit pusat.
sumber