Apa demonstrasi perbedaan varian dari dua variabel dependen?

Saya tahu bahwa varians perbedaan dua variabel independen adalah jumlah varians, dan saya bisa membuktikannya. Saya ingin tahu kemana perginya kovarians dalam kasus lain.

Ketika dan adalah variabel dependen dengan kovarians , maka varian perbedaannya diberikan oleh Ini disebutkan di antara sifat-sifat dasar varians di http://en.wikipedia.org/wiki/Variance . Jika dan kebetulan tidak berkorelasi (yang merupakan fortiori kasus ketika mereka independen), maka kovarians mereka adalah nol dan kami memiliki $X$$Y$$\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$

$$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$$ $X$$Y$ $$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$$

Biarkan dan menjadi dua variabel acak. Kami ingin menunjukkan bahwa .$X$$Y$$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

Mari kita mendefinisikan , jadi kita memiliki: .$Z:=-Y$$Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$

$Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$ , karena$Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

Kami juga memiliki , karena .$Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$$Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$

Menyatukan semua bagian, kita memiliki .$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$