Saya mendengar bahwa korelasi parsial antara variabel acak dapat ditemukan dengan membalikkan matriks kovarians dan mengambil sel yang sesuai dari matriks presisi yang dihasilkan (fakta ini disebutkan dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_correlation , tetapi tanpa bukti) .
Mengapa demikian?
Jawaban:
Ketika variabel acak multivarian memiliki matriks kovarians nondegenerate C = ( γ i j ) = ( Cov ( X i , X j ) ) , himpunan semua kombinasi linear nyata dari X i membentuk ruang vektor nyata n -dimensi dengan basis E = ( X 1 , X 2 , ... ,( X1, X2, ... , Xn) C=(γij)=(Cov(Xi,Xj)) Xi n dan produk dalam non-degenerasi yang diberikan olehE=(X1,X2,…,Xn)
Its ganda dasar sehubungan dengan produk dalam ini , , didefinisikan secara unik oleh hubunganE∗=(X∗1,X∗2,…,X∗n)
delta Kronecker (sama dengan ketika i = j dan 0 sebaliknya).1 i=j 0
Dasar ganda menarik di sini karena korelasi parsial dan X j diperoleh sebagai korelasi antara bagian X i yang tersisa setelah memproyeksikannya ke ruang yang direntang oleh semua vektor lain (sebut saja " residual", X i ∘ ) dan bagian sebanding X j , yang sisa X j ∘ . Namun X ∗ i adalah vektor yang ortogonal untuk semua vektor selain X i dan memiliki produk dalam yang positif dengan X i dari mana X iXi Xj Xi Xi∘ Xj Xj∘ X∗i Xi Xi harus berupa kelipatan X ∗ i yang tidak negatif, dan juga untuk X j . Karena itu marilah kita menulisXi∘ X∗i Xj
untuk bilangan real positif dan λ j .λi λj
Korelasi parsial adalah produk titik yang dinormalisasi dari residu, yang tidak berubah dengan men-rescaling:
(Dalam kedua kasus, korelasi parsial akan menjadi nol setiap kali residunya ortogonal, terlepas dari apakah itu nol atau tidak.)
Kita perlu menemukan produk dalam dari elemen berbasis ganda. Untuk tujuan ini, perluas elemen basis ganda dalam hal basis asli :E
Kemudian dengan definisi
Dalam notasi matriks dengan matriks identitas dan B = ( β i j ) matriks perubahan-basis, ini menyatakanI=(δij) B=(βij)
Yaitu, , yang persis seperti yang ditegaskan oleh artikel Wikipedia. Rumus sebelumnya untuk korelasi parsial memberiB=C−1
sumber
Berikut ini adalah bukti dengan perhitungan matriks saja.
Untuk mendapatkan tanda minus ini, berikut adalah bukti berbeda yang saya temukan di "Graphical Models Lauriten 1995 Page 130". Ini hanya dilakukan oleh beberapa perhitungan matriks.
sumber
i=j
, lalurho_ii V\{X_i, X_i} = -1
, Bagaimana kita menafsirkan elemen-elemen diagonal dalam matriks presisi?Ini menjelaskan kebingungan dalam komentar di atas, serta di Wikipedia. Definisi kedua digunakan secara universal dari apa yang bisa saya katakan, jadi harus ada tanda negatif.
Saya awalnya mengirim suntingan ke jawaban lain, tetapi membuat kesalahan - maaf tentang itu!
sumber