Saya membaca dari buku teks saya bahwa tidak menjamin X dan Y independen. Tetapi jika mereka independen, kovarian mereka harus 0. Saya belum bisa memikirkan contoh yang tepat; bisakah seseorang menyediakannya?
independence
covariance
Babi terbang
sumber
sumber
Jawaban:
Contoh mudah: Misalkan menjadi variabel acak yaitu - 1 atau + 1 dengan probabilitas 0,5. Kemudian biarkan Y menjadi variabel acak sehingga Y = 0 jika X = - 1 , dan Y adalah acak - 1 atau + 1 dengan probabilitas 0,5 jika X = 1 .X −1 +1 Y Y=0 X=−1 Y −1 +1 X=1
Jelas dan Y sangat tergantung (karena mengetahui Y memungkinkan saya untuk benar-benar tahu X ), tetapi kovarian mereka nol: Mereka berdua memiliki rata-rata nol, danX Y Y X
Atau lebih umum, ambil distribusi dan P ( Y | X ) apa saja sehingga P ( Y = a | X ) = P ( Y = - a | X ) untuk semua X (yaitu, distribusi gabungan yang simetris di sekitar sumbu x ), dan Anda akan selalu memiliki nol kovarians. Tetapi Anda akan memiliki non-kemerdekaan setiap kali P ( Y | X ) ≠ P (P(X) P(Y|X) P(Y=a|X)=P(Y=−a|X) X x ; yaitu, kondisi tidak semuanya sama dengan marginal. Atau juga untuk simetri di sekitarsumbu y .P(Y|X)≠P(Y) y
sumber
sumber
Gambar di bawah ini (sumber Wikipedia ) memiliki sejumlah contoh di baris ketiga, khususnya contoh pertama dan keempat memiliki hubungan dependen yang kuat, tetapi 0 korelasi (dan 0 kovarians).
sumber
Beberapa contoh lain, pertimbangkan titik data yang membentuk lingkaran atau elips, kovariannya adalah 0, tetapi mengetahui x Anda mempersempit nilai y menjadi 2. Atau data dalam kotak atau persegi panjang. Juga data yang membentuk X atau V atau a ^ atau <atau> semua akan memberikan kovarian 0, tetapi tidak independen. Jika y = sin (x) (atau cos) dan x mencakup kelipatan integer periode maka cov akan sama dengan 0, tetapi mengetahui x Anda tahu y atau setidaknya | y | dalam kasus elips, x, <, dan>.
sumber