Distribusi maksimum dua variabel normal berkorelasi

Katakanlah saya memiliki dua variabel acak normal standar dan yang normal bersama dengan koefisien korelasi .X $X_1$$X_2$$r$

Apa fungsi distribusi ?$\max(X_1, X_2)$

Menurut Nadarajah dan Kotz, 2008 , Distribusi Persis dari Maks / Min dari Dua Variabel Acak Gaussian , PDF dari $X = \max(X_1, X_2)$ tampaknya

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

di mana $\phi$ adalah PDF dan $\Phi$ adalah CDF dari distribusi normal standar.

$\hskip2in$

Biarkan menjadi PDF Normal bivariat untuk dengan marjinal standar dan korelasi . CDF maksimum adalah, menurut definisi, ( X , Y ) $f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

Normal PDF bivariat simetris (melalui refleksi) di sekitar diagonal. Dengan demikian, peningkatan ke menambahkan dua strip probabilitas setara ke kuadrat semi-tak terbatas semula: yang bagian atas sangat tebal adalah sementara timpalannya yang dipantulkan, strip kanan, adalah .z + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ] ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z $z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

Kerapatan probabilitas strip kanan adalah kerapatan pada kali probabilitas bersyarat total bahwa ada di dalam strip, . Distribusi bersyarat dari selalu Normal, jadi untuk menemukan probabilitas bersyarat total ini, kita hanya perlu mean dan varians. Rata-rata bersyarat pada adalah prediksi regresi dan varians bersyarat adalah varians "tidak dijelaskan" .z Y Pr ( Y ≤ $X$$z$$Y$Y Y X ρ X var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Sekarang kita mengetahui mean dan varians kondisional, CDF bersyarat dari diberikan dapat diperoleh dengan menstandarisasi dan menerapkan CDF Normal Normal :X Y $Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

Mengevaluasi ini pada dan dan mengalikan dengan kepadatan pada (pdf Normal normal ) memberikan kemungkinan kepadatan strip kedua (kanan)X = z X z $y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

Menggandakan akun ini untuk strip atas equi-probable, memberikan PDF maksimum sebagai

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Rekapitulasi

Saya telah mewarnai faktor-faktor untuk menunjukkan asal-usulnya: untuk dua strip simetris; untuk lebar strip yang sangat kecil; dan untuk panjang strip. Argumen yang terakhir, , hanyalah versi standar dari tergantung pada .$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$