Perkiraan ML dari distribusi eksponensial (dengan data yang disensor)

Dalam Analisis Kelangsungan Hidup, Anda menganggap waktu kelangsungan hidup rv untuk didistribusikan secara eksponensial. Mempertimbangkan sekarang bahwa saya memiliki x 1 , … , x n "hasil" dari iid rv's X i . Hanya sebagian dari hasil ini yang sebenarnya "sepenuhnya terwujud", yaitu pengamatan yang tersisa masih "hidup".$X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

Jika saya ingin melakukan estimasi ML untuk parameter tingkat dari distribusi, bagaimana saya bisa menggunakan pengamatan yang tidak disadari dengan cara yang koheren / tepat? Saya percaya mereka masih mengandung informasi yang berguna untuk estimasi.$\lambda$

Bisakah seseorang membimbing saya ke literatur tentang topik ini? Saya yakin itu ada. Namun saya kesulitan menemukan kata kunci / istilah pencarian yang bagus untuk topik tersebut.

Anda masih dapat memperkirakan parameter dengan menggunakan kemungkinan secara langsung. Biarkan pengamatan menjadi dengan distribusi eksponensial dengan laju λ > 0 dan tidak diketahui. Fungsi kerapatan adalah f ( x ; λ ) = λ e - λ x , fungsi distribusi kumulatif F ( x ; λ ) = 1 - e - λ x dan fungsi ekor G ( x ; $x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ . Asumsikan r pengamatanpertamasepenuhnya diamati, sedangkan untuk x r + 1 , ... , x n kita hanya tahu bahwa x j > t j untuk beberapa konstanta positif yang diketahui t j . Seperti biasa, kemungkinannya adalah "probabilitas data yang diamati", untuk pengamatan yang disensor, yang diberikan oleh P ( X j > t $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$ , jadi fungsi kemungkinan penuh adalah L ( λ ) = r ∏ i = 1 f ( x i ; λ ) ⋅ n ∏ i = r + 1 G ( t j ; λ ) Loglikelihood fungsi kemudian menjadi l ( λ ) = r log λ - λ ( $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ yang memiliki bentuk yang sama dengan kemungkinan log untuk kasus yang diamati secara penuh, kecuali dari istilah r log pertama λ sebagai ganti n log λ . Menulis T untuk rata-rata observasi dan menyensor kali, estimator maksimum kemungkinan λ menjadi λ = $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$ , yang Anda sendiri dapat membandingkannya dengan kasus yang diamati sepenuhnya.$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$

 EDIT   

$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$

Tetapi, bagaimanapun, kesimpulan nyata dari data dalam kasus itu adalah bahwa kita harus menunggu lebih banyak waktu sampai kita mendapatkan beberapa peristiwa ...

$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

$p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$