Apa parameter posterior Wishart-Wishart?

12

Ketika infering presisi matriks Λ dari distribusi normal digunakan untuk menghasilkan N vektor D-dimensi x1,..,xN

xiN(μ,Λ1)
kita biasanya menempatkan Wishart sebelum over Λ karena distribusi Wishart adalah konjugat sebelumnya untuk pendahuluan distribusi normal multivarian dengan rerata mean dan tidak diketahui yang diketahui:
ΛW(υ,Λ0)
mana υ adalah derajat kebebasan dan Λ0 thematriks skala . Untuk menambah kekokohan dan fleksibilitas pada model, kami menempatkan hyperprior di atas parameter Wishart. Misalnya, Görür dan Rasmussen menyarankan:
Λ0W(D,1DΛx)1υD+1G(1,1D)
mana G adalah distribusi Gamma.

Pertanyaan:

untuk mengambil sampel posterior Λ0

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)

apa keluarga dan parameter posterior ini?

PS:

Menjatuhkan semua faktor yang tidak bergantung pada Λ0 dan mengidentifikasi parameter dengan parameter Wihsart. Saya mendapatkan Wishart dengan parameter:

υ=υ+DΛ=Λ+Λx

yang terlihat cukup bagus, tetapi saya tidak percaya diri sama sekali karena saya tidak menemukan contoh apa pun di buku maupun di internet.

Erratum :

Görur dan Rasmussen menyarankan hyperpriors tersebut di atas parameter Wishart, tetapi persamaan ini:

ΛW(υ,Λ0)

seharusnya menjadi:

ΛW(υ,Λ01)

karena itu menyelesaikan kekurangan konjugasi. Jika kita ingin menyimpan maka kita harus menggunakan Inverse Wishart sebagai prior (lihat jawaban @ Xi'an)Λ0

Alberto
sumber

Jawaban:

5

Produk dari dua kepadatan di mengarah ke

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)
p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)|Λ0|υ/2exp{tr(Λ01Λ)/2}×|Λ0|(Dp1)/2exp{Dtr(Λx1Λ0)/2}|Λ0|(Dυp1)/2exp{tr(Λ01Λ+DΛx1Λ0)/2},

yang tampaknya tidak menjadi kepadatan standar. Untuk menjaga konjugasi, hierarki kanan sebelumnya pada harus berupa sesuatu seperti Λ0
Λ0IW(Λ0|D,1DΛx).
Xi'an
sumber
1
Terima kasih atas petunjuknya @ Xi'an!, Sebenarnya parameter dalam kemungkinan harus (kesalahan saya, lihat edit). Saya baru saja mengirim jawaban menggunakan ini dan menyimpan Wishart * Wishart. Λ01
alberto
6

Ok, terima kasih kepada @ Xi'an menjawab saya bisa membuat seluruh derivasi. Saya akan menulisnya untuk kasus umum: mana adalah kunci untuk konjugasi. Jika kita ingin menggunakan maka seharusnya:

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)
S1S
W(W|υ,S)×IW(S|υ0,S0)

Saya melakukan kasus pertama (perbaiki saya jika saya salah):

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)|S|υ/2exp{12tr(SW)}×|S|υ0D12exp{12tr(S01S)}|S|υ+υ0D12exp{12tr((W+S01)S)}

di mana kami menggunakan fakta bahwa . Dengan memeriksa, kita melihat bahwa ini adalah distribusi Wishart: tr(SW)=tr(WS)

p(S|)=W(υ+υ0,(W+S01)1)

Ekstensi untuk drawNW1...WN :

Untuk kasus ketika kita memiliki matriks presisi maka kemungkinan menjadi produk dari kemungkinan dan kita mendapatkan:NN

p(S|)=W(Nυ+υ0,(i=1NWi+S01)1)
Alberto
sumber