Apa Rasio Distribusi Independen yang memberikan Distribusi Normal?

Rasio dua distribusi normal independen memberikan distribusi Cauchy. Distribusi t adalah distribusi normal dibagi dengan distribusi chi-kuadrat independen. Rasio dua distribusi chi-kuadrat independen memberikan distribusi-F.

Saya mencari rasio distribusi kontinu independen yang memberikan variabel acak berdistribusi normal dengan mean dan varians ?σ $\mu$$\sigma^2$

Mungkin ada serangkaian jawaban yang tak terbatas. Bisakah Anda memberi saya beberapa jawaban yang mungkin? Saya akan sangat menghargai jika dua distribusi independen yang rasio dihitung sama atau setidaknya memiliki varian yang sama.

Biarkan manaEmemiliki distribusi eksponensial dengan rata-rata2σ2danZ=±1dengan probabilitas yang sama. BiarkanY2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ manaB∼Beta(0,5,0,5). Dengan asumsi(Z,E,B)saling independen, makaY1tidak bergantung padaY2danY1/Y2∼Normal(0,σ2). Karena itu kita punya$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. terlepas dari Y 2 ;$Y_1$$Y_2$
2. Keduanya terus menerus; seperti yang
3. .$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Saya belum menemukan cara untuk mendapatkan . Lebih sulit untuk melihat bagaimana melakukan ini karena masalahnya berkurang untuk menemukan A dan B yang independen sehingga A - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$ yang sedikit lebih sulit daripada membuatA/B∼Normal(0,1)untukAdanBindependen.

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

Saya akan sangat menghargai jika dua distribusi independen yang rasio dihitung sama 

Tidak ada kemungkinan bahwa variabel normal dapat ditulis sebagai rasio dari dua variabel independen dengan keluarga distribusi atau distribusi yang sama (seperti distribusi-F yang merupakan rasio dua variabel yang terdistribusi $\chi^2$ skala atau distribusi Cauchy yang merupakan rasio dua variabel terdistribusi normal dengan nol rata-rata).

• Misalkan: untuk $A, B \sim F$ mana $F$ adalah keluarga distribusi atau distribusi yang sama kita memiliki

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Kita juga harus dapat membalik $A$ dan $B$ (jika variabel normal dapat ditulis sebagai rasio dua variabel independen dengan keluarga distribusi atau distribusi yang sama maka urutannya dapat dibalik)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Tetapi jika $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ maka $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ tidak mungkin benar (kebalikan dari variabel terdistribusi normal bukan variabel terdistribusi normal lainnya).

---

Kesimpulan yang lebih luas: Jika variabel dalam setiap keluarga distribusi $\mathcal{F}_X$ dapat ditulis sebagai rasio variabel dalam keluarga distribusi lain $\mathcal{F}_Y$ maka harus bahwa keluarga $\mathcal{F}_X$ . Ditutup di bawah mengambil timbal balik (yaitu untuk setiap variabel yang distribusi di $\mathcal{F}_X$ distribusi timbal baliknya juga akan di $\mathcal{F}_X$ ).

Misalnya kebalikan dari variabel terdistribusi Cauchy juga terdistribusi Cauchy. Kebalikan dari variabel terdistribusi-F juga terdistribusi-F.

• Ini 'jika' bukan 'iff', sebaliknya tidak benar. Ketika $X$ dan $1/X$ berada dalam keluarga distribusi yang sama maka mungkin tidak selalu mungkin ditulis sebagai distribusi rasio dengan nominator dan penyebut dari keluarga distribusi yang sama.

  Contoh tandingan: Kita dapat membayangkan keluarga distribusi yang untuk $X$ mana pun dalam keluarga kita memiliki $1/X$ dalam keluarga yang sama tetapi kita tidak memiliki $P(X=1)=0$ . Ini bertentangan dengan fakta bahwa untuk distribusi rasio di mana penyebut dan nominator memiliki distribusi yang sama kita harus memiliki $P(X=1) \neq 0$ (dan sesuatu yang serupa dapat dinyatakan untuk distribusi kontinu seperti integral sepanjang garis X / Y = 1 dalam sebaran X, Y memiliki kerapatan bukan nol ketika X dan Y memiliki distribusi yang sama dan independen).

Nah, ini satu tapi saya tidak akan membuktikannya, hanya tunjukkan dalam simulasi.

Membuat dua distribusi beta dengan sama besar parameter bentuk (di sini, n = 40 , 000 ), kurangi 1/2 dari x -values salah satu dari mereka dan menyebutnya "pembilang." Itu memberi kita PDF yang memiliki jangkauan maksimum ( - $\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$, tetapi karena parameter bentuknya sangat besar, kami tidak pernah mencapai nilai maksimum rentang. Ini adalah histogram darin=40,000"pembilang" $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$$n=40,000$

Selanjutnya, kami menyebut distribusi beta kedua "penyebut" tanpa mengurangi apa pun, sehingga memiliki rentang distribusi beta biasa dan salah satunya terlihat seperti ini$(0,1)$

Sekali lagi, karena bentuknya sangat besar, kami tidak mendekati rentang maksimum dengan nilai. Selanjutnya kita plot pembilang hasil bagi sebagai PDF dengan distribusi normal yang dilapiskan.$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Sekarang dalam kasus ini hasil distribusi normal memiliki dan menguji normalitas yang terlihat seperti ini$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

Dengan kata lain, kami tidak dapat membuktikan bahwa rasio ini tidak normal walaupun kami berusaha sangat keras untuk melakukannya.

Sekarang kenapa? Intuisi pada bagian saya, yang saya miliki dalam jumlah besar. Bukti diserahkan kepada pembaca, jika ada (mungkin melalui batas metode saat, tetapi sekali lagi itu hanya intuisi).

$\text{Beta}(20,20)$$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$$t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

$X_1^G,X_2^G$$X^C_{\gamma}$

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$$\gamma$

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

$\mu$$\mu$$\sigma$$\gamma\rightarrow1/\gamma$