Apa yang dimaksud dengan istilah 'keluarga eksponensial'? Mengapa dinamai demikian?

Saya telah menemukan istilah keluarga eksponensial .

Bernoulli, Gaussian, dan banyak lagi distribusi berada di bawah keluarga eksponensial ini.

Apa yang akan menjadi kesamaan di antara mereka?

Mereka disebut "keluarga eksponensial" karena mereka semua dapat ditulis dalam bentuk sederhana

Ada beberapa bentuk lain yang setara yang mungkin lebih sering digunakan, tetapi saya pikir bentuk itu membuat bagian "eksponensial" menjadi paling jelas.

Lihat, misalnya, bagian halaman Wikipedia ini pada keluarga Exponential .

Secara khusus, pada pertengahan 1930-an sejumlah penulis membahas kondisi apa yang diperlukan untuk suatu distribusi agar memiliki statistik yang memadai; Koopman menyatakan itu harus " dari jenis rumus eksponensial yang sangat khusus (4) di bawah " (penekanan tambang), di mana persamaan (4) setara dengan bentuk di atas.$^{[1]}$

Sehingga bentuk itu secara singkat mengungkapkan kesamaan yang mereka miliki. Tetapi konsekuensi dari bentuk itu adalah bahwa kelas distribusi ini memiliki beberapa sifat yang sangat bagus; misalnya, adalah statistik yang cukup - membawa semua informasi dalam data tentang .$T$$\theta$

Sejumlah properti tambahan yang mereka bagikan dirangkum di sini .

Anggota yang umum digunakan termasuk Gaussian, Poisson, binomial, dan gamma (termasuk eksponensial dan chi-squared), tetapi saya juga memiliki kesempatan untuk menggunakan anggota lain (seperti Tweedie dengan ditentukan , dan invers Gaussian).$p$

Properti bersama membuat beberapa standarisasi pengobatan mereka mungkin, mengarah ke penggunaan luas model linier umum (GLMs).

[1] Koopman, BO, (1936),
"Tentang Distribusi yang Mengakui Statistik yang Cukup",
Transaksi Masyarakat Matematika Amerika , 39 : 3, 399-409.