Bagaimana tepatnya jumlah (atau rata-rata) batasan keterpusatan untuk splines (juga wrt gam dari mgcv) dilakukan?

Proses menghasilkan data adalah:$y = \text{sin}\Big(x+I(d=0)\Big) + \text{sin}\Big(x+4*I(d=1)\Big) + I(d=0)z^2 + 3I(d=1)z^2 + \mathbb{N}\left(0,1\right)$

Misalkan menjadi urutan dari ke dengan panjang dan menjadi faktor yang sesuai . Ambil semua kemungkinan kombinasi untuk menghitung : $x,z$$-4$$4$$100$$d$$d\in\{0,1\}$$x,z,d$$y$

Menggunakan B-spline-Basis (tidak terpusat) untuk untuk setiap tingkat tidak akan layak oleh properti-of-unity-properti (baris jumlah ke 1). Model seperti itu tidak akan dapat diidentifikasi (bahkan tanpa intersep).$x,z$$d$

Contoh: (Pengaturan: 5 interval simpul dalam (terdistribusi secara merata), B-Spline derajat 2, spline-fungsi adalah kebiasaan)

# drawing the sequence
n <- 100
x <- seq(-4,4,length.out=n)
z <- seq(-4,4,length.out=n)
d <- as.factor(0:1)
data <- CJ(x=x,z=z,d=d)
set.seed(100)

# setting up the model
data[,y := sin(x+I(d==0)) + sin(x+4*I(d==1)) + I(d==0)*z^2 + 3*I(d==1)*z^2 + rnorm(n,0,1)]

# creating the uncentered B-Spline-Basis for x and z
X <- data[,spline(x,min(x),max(x),5,2,by=d,intercept=FALSE)]
> head(X)
     x.1d0 x.2d0 x.3d0 x.4d0 x.5d0 x.6d0 x.7d0 x.1d1 x.2d1 x.3d1 x.4d1 x.5d1 x.6d1 x.7d1
[1,]   0.5   0.5     0     0     0     0     0   0.0   0.0     0     0     0     0     0
[2,]   0.0   0.0     0     0     0     0     0   0.5   0.5     0     0     0     0     0
[3,]   0.5   0.5     0     0     0     0     0   0.0   0.0     0     0     0     0     0

Z <- data[,spline(z,min(z),max(z),5,2,by=d)]
head(Z)
         z.1d0     z.2d0      z.3d0 z.4d0 z.5d0 z.6d0 z.7d0     z.1d1     z.2d1      z.3d1 z.4d1 z.5d1 z.6d1
[1,] 0.5000000 0.5000000 0.00000000     0     0     0     0 0.0000000 0.0000000 0.00000000     0     0     0
[2,] 0.0000000 0.0000000 0.00000000     0     0     0     0 0.5000000 0.5000000 0.00000000     0     0     0
[3,] 0.4507703 0.5479543 0.00127538     0     0     0     0 0.0000000 0.0000000 0.00000000     0     0     0

     z.7d1
[1,]     0
[2,]     0
[3,]     0

# lm will drop one spline-column for each factor 
lm(y ~ -1+X+Z,data=data)

Call:
lm(formula = y ~ -1 + X + Z, data = data)

Coefficients:
 Xx.1d0   Xx.2d0   Xx.3d0   Xx.4d0   Xx.5d0   Xx.6d0   Xx.7d0   Xx.1d1   Xx.2d1   Xx.3d1   Xx.4d1   Xx.5d1  
 23.510   19.912   18.860   22.177   23.080   19.794   18.727   68.572   69.185   67.693   67.082   68.642  
 Xx.6d1   Xx.7d1   Zz.1d0   Zz.2d0   Zz.3d0   Zz.4d0   Zz.5d0   Zz.6d0   Zz.7d0   Zz.1d1   Zz.2d1   Zz.3d1  
 69.159   67.496    1.381  -11.872  -19.361  -21.835  -19.698  -11.244       NA   -1.329  -38.449  -62.254  
 Zz.4d1   Zz.5d1   Zz.6d1   Zz.7d1  
-69.993  -61.438  -39.754       NA

Untuk mengatasi masalah ini, Wood, Generalized Additive Models: An Introduction with R , halaman 163-164 mengusulkan jumlah (atau rata-rata) batasan keterpusatan:

$\boldsymbol{1}^T\boldsymbol{\tilde{X}_j}\boldsymbol{\tilde{\beta}_j}=0$

Ini dapat dilakukan dengan reparametrization jika matriks ditemukan sedemikian rupa$\boldsymbol{Z}$

$\boldsymbol{1}^T\boldsymbol{\tilde{X}_j}\boldsymbol{Z}=0$

$\boldsymbol{Z}$ -matrix dapat ditemukan dengan dekomposisi-QR dari matriks kendala .$\boldsymbol{C}^T = (\boldsymbol{\boldsymbol{1}^T\boldsymbol{\tilde{X}_j}})^T = \boldsymbol{\tilde{X}_j}^T\boldsymbol{1}$

Perhatikan bahwa adalah oleh partisi unity-property.$\boldsymbol{\tilde{X}_j}^T\boldsymbol{1}$$\boldsymbol{1}$

Versi terpusat / terbatas dari B-Spline-Matrix saya adalah:

X <- data[,spline(x,min(x),max(x),5,2,by=d,intercept=TRUE)]
head(X)
         x.1d0      x.2d0      x.3d0      x.4d0      x.5d0       x.6d0     x.1d1      x.2d1      x.3d1      x.4d1
[1,] 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655 -0.2728077 -0.05790256 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[2,] 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655
[3,] 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655 -0.2728077 -0.05790256 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000

          x.5d1       x.6d1
[1,]  0.0000000  0.00000000
[2,] -0.2728077 -0.05790256
[3,]  0.0000000  0.00000000

Z <- data[,spline(z,min(z),max(z),5,2,by=d,intercept=TRUE)]
head(Z)
         z.1d0      z.2d0      z.3d0      z.4d0      z.5d0       z.6d0     z.1d1      z.2d1      z.3d1      z.4d1
[1,] 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655 -0.2728077 -0.05790256 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[2,] 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655
[3,] 0.2875283 -0.3066501 -0.3079255 -0.3079255 -0.2604260 -0.05527458 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000

          z.5d1       z.6d1
[1,]  0.0000000  0.00000000
[2,] -0.2728077 -0.05790256
[3,]  0.0000000  0.00000000

Pertanyaan saya adalah: Meskipun kecocokannya sangat mirip, mengapa kolom-kolom B-Spline saya berbeda dari apa yang disediakan oleh gam? Apa yang saya lewatkan?

# comparing with gam from mgcv
mod.gam <- gam(y~d+s(x,bs="ps",by=d,k=7)+s(z,bs="ps",by=d,k=7),data=data)
X.gam <- model.matrix(mod.gam)
head(X.gam)
  (Intercept) d1 s(x):d0.1   s(x):d0.2  s(x):d0.3  s(x):d0.4  s(x):d0.5   s(x):d0.6 s(x):d1.1   s(x):d1.2
1           1  0 0.5465301 -0.05732768 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987 0.0000000  0.00000000
2           1  1 0.0000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.5465301 -0.05732768
3           1  0 0.5465301 -0.05732768 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987 0.0000000  0.00000000

   s(x):d1.3  s(x):d1.4  s(x):d1.5   s(x):d1.6 s(z):d0.1    s(z):d0.2  s(z):d0.3  s(z):d0.4  s(z):d0.5
1  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.5465301 -0.057327680 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207
2 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987 0.0000000  0.000000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
3  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.5471108 -0.031559945 -0.2302910 -0.2213227 -0.1176356

    s(z):d0.6 s(z):d1.1    s(z):d1.2  s(z):d1.3  s(z):d1.4  s(z):d1.5   s(z):d1.6
1 -0.01043987 0.0000000  0.000000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000
2  0.00000000 0.5465301 -0.057327680 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987
3 -0.01022388 0.0000000  0.000000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000

Garis putus-putus sesuai dengan pas saya, garis lurus ke versi gam

Berikut adalah contoh sederhana menggunakan tautan dari Nemo. Pertanyaan yang saya jawab adalah

Bagaimana tepatnya jumlah (atau rata-rata) batasan keterpusatan untuk splines (juga wrt gam dari mgcv) dilakukan?

Saya menjawab ini karena ini adalah judul dan judul

Pertanyaan saya adalah : Meskipun kecocokannya sangat mirip, mengapa kolom-kolom B-Spline saya berbeda dari apa yang disediakan oleh gam? Apa yang saya lewatkan?

agak tidak jelas karena alasan yang saya berikan pada akhirnya. Inilah jawaban untuk pertanyaan di atas

# simulate data
library(splines)
set.seed(100)
n <- 1000
x <- seq(-4,4,length.out=n)
df <- expand.grid(d = factor(c(0, 1)), x = x)
df <- cbind(y = sin(x) + rnorm(length(df),0,1), df)
x <- df$x

# we start the other way and find the knots `mgcv` uses to make sure we have
# the same knots...
library(mgcv)
mod_gam <- gam(y ~ s(x, bs="ps", k = 7), data = df)
knots <- mod_gam$smooth[[1]]$knots

# find constrained basis as OP describes
X <- splineDesign(knots = knots, x)
C <- rep(1, nrow(X)) %*% X
qrc <- qr(t(C))
Z <- qr.Q(qrc,complete=TRUE)[,(nrow(C)+1):ncol(C)]
XZ <- X%*%Z
rep(1, nrow(X)) %*% XZ # all ~ zero as they should
#R              [,1]          [,2]          [,3]          [,4]          [,5]          [,6]
#R [1,] 2.239042e-13 -2.112754e-13 -3.225198e-13 -6.993017e-14 -2.011724e-13 -3.674838e-14

# now we get roughtly the same basis
all.equal(model.matrix(mod_gam)[, -1], XZ, check.attributes = FALSE)
#R [1] TRUE

# if you want to use a binary by value
mod_gam <- gam(y ~ s(x, bs="ps", k = 7, by = d), data = df)
all.equal(
  model.matrix(mod_gam)[, -1],
  cbind(XZ * (df$d == 0), XZ * (df$d == 1)), check.attributes = FALSE)
#R [1] TRUE

Anda dapat melakukan lebih baik dalam hal kecepatan komputasi daripada komputasi secara eksplisit

Z <- qr.Q(qrc,complete=TRUE)[,(nrow(C)+1):ncol(C)]
XZ <- X%*%Z

seperti yang dijelaskan pada halaman 211 dari

Wood, Simon N .. Generalized Additive Models: Pengantar R, Edisi Kedua (Chapman & Hall / CRC Teks dalam Ilmu Statistik). CRC Tekan.

Ada beberapa masalah dalam kode OP

# drawing the sequence
n <- 100
x <- seq(-4,4,length.out=n)
z <- seq(-4,4,length.out=n)
d <- as.factor(0:1)
library(data.table) # OP did not load the library
data <- CJ(x=x,z=z,d=d)
set.seed(100)

# setting up the model
data[, y :=
     # OP only simulate n random terms -- there are 20000 rows
     sin(x+I(d==0)) + sin(x+4*I(d==1)) + I(d==0)*z^2 + 3*I(d==1)*z^2 + rnorm(n,0,1)]

# creating the uncentered B-Spline-Basis for x and z
X <- data[,spline(x,min(x),max(x),5,2,by=d,intercept=FALSE)] # gets an error
#R Error in spline(x, min(x), max(x), 5, 2, by = d, intercept = FALSE) :
#R   unused arguments (by = d, intercept = FALSE)
str(formals(spline)) # here are the formals for `stats::spline`
#R Dotted pair list of 8
#R $ x     : symbol
#R $ y     : NULL
#R $ n     : language 3 * length(x)
#R $ method: chr "fmm"
#R $ xmin  : language min(x)
#R $ xmax  : language max(x)
#R $ xout  : symbol
#R $ ties  : symbol mean

Untuk

Pertanyaan saya adalah : Meskipun kecocokannya sangat mirip, mengapa kolom-kolom B-Spline saya berbeda dari apa yang disediakan oleh gam? Apa yang saya lewatkan?

maka saya tidak mengerti bagaimana Anda berharap untuk mendapatkan yang sama. Anda mungkin telah menggunakan simpul yang berbeda dan saya tidak melihat bagaimana splinefungsi akan menghasilkan hasil yang benar di sini.

Garis putus-putus sesuai dengan pas saya, garis lurus ke versi gam

Jika yang terakhir dipasang lmmaka tidak dikenakan sanksi sehingga hasilnya harus berbeda?