mana dan didistribusikan secara lognormal

Saya mencoba untuk menghitung ekspektasi untuk arbitrary (untuk ekspektasinya tidak terbatas) jika didistribusikan secara lognormal, yaitu .

$$E[e^{cX}]$$ $c<0$$c>0$$X$$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Gagasan saya adalah menuliskan ekspektasi sebagai integral, tetapi saya tidak melihat bagaimana melanjutkan:

$$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$$

Saya juga mencoba rumus Itô (tugas sebenarnya adalah menemukan mana adalah gerak Brown geometris, tetapi mengurangi masalah di atas karena kami melihat proses Markov) , tapi itu tidak terlihat sangat menjanjikan juga. Adakah yang bisa membantu saya?$E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$$X$

Yang Anda inginkan adalah fungsi saat menghasilkan variabel lognormal, yang dikenal sebagai masalah sulit. Atau, ini adalah Transformasi Laplace, yang merupakan ekspresi Anda dengan diganti oleh . Anda harus melihat https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution yang memiliki beberapa informasi berguna.$c$$-c$

Makalah "Pada Transformasi Laplace dari distribusi lognormal" oleh Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen dan Leonardo Rojas-Nandayapa memberikan perkiraan berikut, yang mereka selidiki secara terperinci. Biarkan menjadi lognormal dengan parameter , yang berarti dengan . Transformasi Laplace adalah mana Jadi kita menganggap Transformasi Laplace . Kemudian mereka memberikan perkiraan untuk : $X$$(\mu, \sigma^2)$$X=e^Y$$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

$$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$ $Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$L(\theta)$ $$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$$ mana adalah tidak negatif. Di sini adalah fungsi Lambert W, lihat https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Kemudian makalah ini melihat kualitas perkiraan ini, dan membandingkannya dengan perkiraan yang lebih lama).$\theta$$W$