Kapan menggunakan DTFT vs DFT (dan inversnya) dalam analisis?

14

Dalam banyak bacaan saya, setiap kali beberapa penulis berbicara tentang bekerja di domain frekuensi (transformasi) (dari sinyal digital), mereka sering kali mengambil DFT, atau DTFT, (dan tentu saja inversinya yang sesuai). Penulis yang berbeda akan cenderung bekerja dengan satu atau yang lain.

Saya belum bisa memastikan pola tertentu mengenai hal ini. Dalam hal itu, mengapa Anda memilih DTFT daripada DFT atau sebaliknya dalam menjelaskan algoritma? Di mana satu membantu Anda mengatasi yang lain?

TheGrapeBeyond
sumber
3
DTFT dapat digunakan ketika sampel tidak diberi jarak waktu yang sama, DFT tidak bisa.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate Ahh poin bagus.
TheGrapeBeyond

Jawaban:

17

DFT dan DTFT jelas sama karena keduanya menghasilkan spektrum fourier dari sinyal diskrit waktu. Namun, sementara DTFT didefinisikan untuk memproses sinyal yang panjang tak terhingga (jumlah dari-infinity hingga infinity), DFT didefinisikan untuk memproses sinyal periodik (bagian periodik yang panjangnya terbatas).

Kita tahu bahwa jumlah tempat frekuensi dalam spektrum Anda selalu sama dengan jumlah sampel yang diproses, jadi ini juga memberikan perbedaan dalam spektrum yang mereka hasilkan: spektrum DFT bersifat diskrit sementara spektrum DTFT kontinu (tetapi keduanya periodik dengan sehubungan dengan frekuensi Nyquist).

Karena tidak mungkin untuk memproses jumlah sampel yang tak terbatas, DTFT kurang penting untuk pemrosesan komputasi yang sebenarnya; ini terutama ada untuk tujuan analitis.

Namun DFT, dengan panjang vektor input yang terbatas, sangat cocok untuk diproses. Fakta bahwa sinyal input seharusnya merupakan kutipan dari sinyal periodik namun diabaikan sebagian besar waktu: Ketika Anda mengubah spektrum DFT kembali ke domain waktu Anda akan mendapatkan sinyal yang sama ketika Anda menghitung spektrum di posisi pertama.

Jadi, sementara itu tidak masalah untuk perhitungan Anda harus mencatat bahwa apa yang Anda lihat tidak ada spektrum sinyal Anda yang sebenarnya . Ini adalah spektrum sinyal teoritis yang akan Anda dapatkan jika Anda secara berkala mengulangi vektor input.

Jadi saya akan berasumsi dalam literatur yang Anda sebutkan, setiap kali penting bahwa spektrum yang Anda kerjakan sebenarnya adalah spektrum dan mengabaikan sisi perhitungan hal-hal, penulis akan memilih DTFT.

Nils Werner
sumber
Jadi, jika sinyal tidak pernah realistis panjangnya tak terbatas, lalu mengapa menganalisis menggunakan DTFT maka di banyak makalah saya melihat? Apakah ada semacam kemudahan atau sesuatu yang menyertainya?
TheGrapeBeyond
Lebih banyak kebenaran matematika daripada kemudahan. Yaitu ketika menulis bukti matematis untuk sinyal non-periodik Anda tidak punya pilihan selain menganggap sinyal Anda menjadi panjang tak terbatas karena itulah cara transformasi Fourier (baik diskrit dan kontinu) bekerja.
Nils Werner
Saya tidak berusaha menjadi sulit, tetapi jika Anda akan selalu menganggap sinyal Anda periodik, dan DTFT lebih tepat secara matematis, lalu mengapa menggunakan DFT sama sekali dalam analisis? Mengapa menggunakan satu di atas yang lain adalah apa yang saya coba dapatkan, ketika menganalisis algoritma?
TheGrapeBeyond
Ketika Anda ingin berpikir tentang mengubah sinyal terbatas waktu, Anda harus menganggap sinyal tak terbatas Anda dikalikan dengan "fungsi jendela", yang secara efektif memotong bagian yang Anda minati. Kasing termudah adalah fungsi persegi panjang; Namun fungsi jendela ini perlu ditransformasikan dan kemudian dililit sinyal juga. Ini menyebabkan noda dan apa yang disebut efek kebocoran.
Nils Werner
2
Kapan menggunakan DFT dalam analisis. Dugaan saya adalah bahwa datang dari sisi matematika Anda ingin menggunakan DTFT karena Anda tidak perlu memperhitungkan artefak dan begitu Anda turun ke lapisan perangkat lunak Anda kemudian beralih ke DFT dengan semua masalah yang ditimbulkannya ke meja.
Nils Werner
6

DTFT digunakan ketika matematika untuk membuktikan beberapa titik lebih mudah (menghemat di atas kertas dan / atau kapur) ketika mengasumsikan jumlah sampel yang tak terbatas. Artinya itu sebenarnya tidak berguna di dunia nyata (Anda akan mati jauh sebelum Anda menemukan Anda memiliki cukup sampel).

DFT adalah ketika Anda memilih jumlah sampel terbatas yang berguna untuk dikerjakan (memberi Anda matriks ukuran terbatas hingga bagus, gandakan ekuivalen dengan tepat), baik itu periodik (dengan asumsi periodisitas panjang bingkai adalah khayalan lain dalam benak beberapa orang untuk kembali membuat matematika lebih mudah ditelusuri). Menggunakan DFT dengan demikian biasanya menyiratkan jendela (persegi panjang, jika bukan sesuatu yang lain) yang tidak diperlukan dalam DTFT. Jendela ini hadir dengan artefak yang terkadang tidak menyenangkan, serta hilangnya informasi yang jelas tentang sinyal di luar jendela, yang merupakan kelemahan DFT.

hotpaw2
sumber
+1 tetapi dapatkah Anda menguraikan sedikit tentang mengapa periodisitas implisit DFT adalah khayalan?
Deve
Asumsi ini tidak konsisten dengan data aktual di luar jendela DFT dalam banyak kegunaan umum (audio, dll.)
hotpaw2
Saya menaikkan peringkat Anda, tetapi mengapa Anda mengatakan bahwa itu adalah khayalan bahwa DFT menganggap data berkala? Jika saya mengajukan pertanyaan, bisakah Anda menjawabnya?
TheGrapeBeyond
1
Mungkin menjadi pertanyaan yang bagus untuk situs pertukaran matematika, penggunaan bahasa Inggris, psikologi atau filsafat stack. Fungsi operator antropomorfisi mungkin merupakan perilaku manusia yang menarik.
hotpaw2
-2

+

Ayushi
sumber