Polinomial yang ortogonal di atas kurva di bidang kompleks

Berbagai set polinomial penting (Legendre, Chebyshev, dll.) Bersifat orthogonal dalam beberapa interval nyata dengan beberapa pembobotan. Adakah keluarga polinomial yang dikenal yang ortogonal di atas kurva lain dalam bidang kompleks?

Misalnya, saya ingin basis untuk polinomial derajat n yang ortogonal atas, katakanlah, lingkaran

- 1 + \exp (i t)

$-1 + \exp(it)$

untuk . $0\le t< 2\pi$

Alasan saya memposting ini di sini adalah karena saya memiliki masalah numerik yang melibatkan matriks nilai polinomial atas titik-titik di bidang kompleks. Menggunakan basis monomial, ia menjadi sangat tidak terkondisi untuk sebagian besar set poin. Saya ingin menggunakan dasar lain untuk meningkatkan pengkondisian, tetapi tidak jelas bahwa menggunakan, katakanlah, polinomial Legendre atau Chebyshev akan meningkatkan pengkondisian untuk kurva umum di bidang kompleks.

basis-set special-functions David Ketcheson
sumber

Saya pikir hasil edit Anda menjadikan hampir seluruh jawaban saya tidak relevan :-P Tapi ini pertanyaan yang lebih baik.

David Z

Saya menduga bahwa ada modifikasi yang sesuai dari algoritma Chebyshev untuk menghasilkan koefisien rekursi. Saya memberikan referensi ke Szegő dalam pertanyaan math.SE Anda.

Terima kasih! Ya, pertanyaan ini dijawab dengan sangat baik pada math.SE, yang mungkin seharusnya saya tanyakan terlebih dahulu.

David Ketcheson

Polinomial yang ortogonal di atas kurva di bidang kompleks

Jawaban: