Mewakili angka Eisenstein tanpa pelampung

Saya punya proyek di mana saya perlu menggunakan bidang kuadrat Khususnya angka dari bentuk dengansebuah,b∈Q.$a + b \sqrt{-3}$$a,b \in \mathbb{Q}$

Misalnya di sini adalah bilangan prima dalam bilangan bulat Eisenstein :

Saya tidak ingin menggunakan bijak. Saya ingin menulis tipe data saya sendiri untuk dimasukkan numpy. PARI akan bermanfaat - tetapi tidak kompatibel dengan Python.

• Tambahan untuk objek-objek ini cukup jelas $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3}$$
• Perkalian sedikit lebih rumit, tetapi kita dapat kode keras itu juga $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{-3}$$
• Tipe data saya juga perlu mengakomodasi pembagian. Untuk kesederhanaan mari kita ambil kebalikan: $$\frac{1}{a + b \sqrt{-3}} = \frac{a - b \sqrt{-3}}{a^2 + 3b^2}$$

Apakah ada cara alami berbasis matriks untuk mengkodekan operasi ini, mirip dengan bagaimana dapat ditulis dalam hal 2 × 2 matriks?$\mathbb{C}$$2 \times 2$

$$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$$

Mungkin saya hanya akan melakukan hard-code operasi sebagai tiga kali lipat dengan tiga operasi yang diuraikan di atas. Ada ide?

$a+b\sqrt{-3}$

$$\begin{pmatrix}a&-3b\\b&a\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}a_1&-3b_1\\b_1&a_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&-3b_2\\b_2&a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2-3b_1b_2&-3(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-3b_1b_2\end{pmatrix}$$

$a^2+3b^2$

Anda telah mempertimbangkan menggunakan tiga kali lipat , yang saya anggap Anda akan menggunakan bilangan bulat dan penyebut umum. Pendekatan itu mungkin berguna dalam representasi matriks juga.

$a+b\omega$$\omega=\exp(\frac{2\pi\mathrm{i}}{3})$$\omega^2+\omega+1=0$$\omega$$\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$$\omega$$1$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$a+b\omega$

$$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a-b\end{pmatrix}$$ $$\begin{align} (a_1+b_1\omega)(a_2+b_2\omega)&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\omega \\\begin{pmatrix}a_1&-b_1\\b_1&a_1-b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2&-b_2\\b_2&a_2-b_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\\ a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2&a_1a_2-a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix} \end{align}$$

$1/z$$\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$$z$

Tidak peduli bagaimana Anda mewakili elemen bidang Anda, Anda bisa membebani operator di Python menggunakan "metode ajaib". Lihat juga posting SO ini tentang cara membuat tipe numerik Anda sendiri dengan Python.

Saya tidak berpikir akan ada lebih banyak pekerjaan yang mengkode representasi elemen lapangan kuadrat baik sebagai matriks 2 x 2 bilangan rasional atau sebagai pasangan bilangan rasional, karena operasi aritmatika tidak begitu rumit. Namun, saya menduga pendekatan kedua akan lebih cepat.