Bagaimana cara membangun multi-qubit dikendalikan-Z dari gerbang dasar?

Untuk implementasi algoritma kuantum tertentu, saya perlu membangun multi-qubit (dalam hal ini, tiga-qubit) yang dikontrol-Z gerbang dari satu set gerbang dasar, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. .

Gerbang yang bisa saya gunakan adalah

• gerbang Pauli dan semua kekuatan mereka (yaitu semua rotasi Pauli hingga faktor fase),$\rm X, Y, Z$
• ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (rotasi sekitar proyektor),$|11\rangle\langle11|$
• $\rm H$ (Hadamard),
• $\rm C_X$ (single-qubit controlled-X atau CNOT),
• $\rm C_Z$ (single-qubit controlled-Z), dan
• $\rm S$ (SWAP).

Bagaimana saya bisa membangun tiga-qubit yang dikontrol-Z dari gerbang ini? Saya telah membaca beberapa makalah tentang dekomposisi sirkuit, tetapi tidak ada yang bisa memberi saya jawaban yang jelas dan ringkas.

(EDIT: Ditingkatkan menjadi 14 CNOT.)

Ini dapat dilakukan dengan 14 CNOT, ditambah 15 rotasi Z single-qubit, dan tidak ada qubit tambahan.

Sirkuit yang sesuai adalah

di mana $\fbox{$\pm$}$ gerbang adalah rotasi

Penurunan:

Dengan menggunakan prosedur yang diuraikan dalam https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , setiap gerbang diagonal - apa pun yang secara khusus gerbang CCCZ - dapat didekomposisi dalam hal misalnya CNOT dan gerbang diagonal satu-qubit, di mana CNOT dapat dioptimalkan sendiri mengikuti prosedur optimasi klasik.

Referensi menyediakan sirkuit menggunakan 16 CNOT untuk gerbang 4-qubit diagonal yang sewenang-wenang (Gbr. 4).

Ini dapat ditingkatkan jika pasangan qubit yang sewenang-wenang dapat digabungkan menjadi 14 qubit. Untuk tetangga terdekat dengan kondisi batas periodik (terbuka), ini dapat dilakukan dengan 16 (18) CNOT. Sirkuit yang sesuai dapat ditemukan di https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Gambar 5.2, 5.4, dan 5.5, dan misalnya dapat diperoleh dengan menggunakan metode untuk membangun urutan Gray pendek.

Jumlah gerbang satu-qubit selalu 15.

Catatan: Meskipun pada prinsipnya mungkin ada rangkaian yang lebih sederhana (rangkaian kata tersebut telah dioptimalkan dengan arsitektur sirkuit yang lebih terbatas dalam pikiran), sirkuit itu harus mendekati optimal - rangkaian harus membuat semua keadaan bentuk $\bigoplus_{i\in I}x_i$ untuk subset non-sepele $I\subset\{1,2,3,4\}$ , dan ada 15 dari mereka untuk 4 qubit.

Perhatikan juga bahwa konstruksi ini tidak perlu optimal.

^{1 Catatan: Saya seorang penulis}

Anda dapat menerapkan -qubit dikendalikan U oleh rangkaian diberikan dalam jawaban ini . Hanya mengganti U oleh Z . Namun ini membutuhkan gerbang CCNOT (Toffoli), dan Anda memiliki beberapa opsi untuk menerapkan CCNOT menggunakan gerbang dasar .$n$$U$$U$$Z$

Berikut ini adalah konstruksi CCCZ yang menggunakan 29 gerbang :

Jika Anda diizinkan menggunakan pengukuran dan umpan maju klasik, jumlah gerbang dapat dikurangi menjadi 25 :

(Gerbang Hadamard dapat diganti dengan akar kuadrat Y jika diperlukan untuk memenuhi batasan gerbang yang ditetapkan.)

Dan jika Anda mengizinkan saya untuk melakukan Controlled-S gates dan Controlled-sqrt (X) gates dan melakukan pengukuran berbasis X, maka saya dapat menurunkannya menjadi total 10 gerbang :

Saya memposting dekomposisi CCCZ lain di sini kalau-kalau berguna bagi orang lain yang mencoba untuk mengkompilasi CCCZ. Ini membutuhkan jumlah gerbang total yang lebih sedikit, dan hanya 1 qubit tambahan alih-alih 2, tetapi lima gerbang 2-qubit lebih banyak daripada jawaban "jelas", jadi mungkin sebenarnya lebih buruk untuk diterapkan pada Perangkat Keras.

Disarankan oleh pengguna @Rob dalam komentar ini: Kompilasi otomatis sirkuit kuantum , dan berasal dari makalah ini .

$(\chi)$

$n=5$$\chi_{ij}=\chi$

$T$$Z^{1/4}$

$T$$|1\rangle$$HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$$-iHT^4H=-iX$$Z^{1/4}$$XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Juga, perhatikan bahwa kedua gerbang Toffoli hanya Toffoli karena mereka menargetkan kondisi 0. Biasanya Anda membutuhkan gerbang dua-qubit tambahan.

Saya belum menemukan konstruksi yang efisien dalam literatur yang ada, meskipun makalah ini mengklaim konstruksi menggunakan hanya 11 gerbang 2-qubit, tapi saya belum melakukan penghitungan gerbang lengkap setelah dikonversi menjadi set gerbang terbatas pertanyaan.

Sementara jawaban saya yang lain adalah cara "buku teks" yang paling jelas (menggunakan dekomposisi CCCZ Nielsen & Chaung menjadi CCNOT , maka dekomposisi buku teks lain untuk mengkompilasi CCNOT ), cara yang lebih kreatif mungkin memungkinkan kita menyelesaikan pekerjaan dengan gerbang yang lebih sedikit.

Langkah 1:

Ganti semua CNOT di sirkuit Nielsen & Chuang dengan gadget ini:

Langkah 2:

Sekarang kami memiliki banyak CCZ, bukan CCNOT, dan mereka dapat terurai seperti ini (milik makalah ini ):

Langkah 3:

$H^2 = I$