Bagaimana cara menafsirkan rangkaian kuantum sebagai matriks?

Jika sebuah sirkuit mengambil lebih dari satu qubit sebagai inputnya dan memiliki gerbang kuantum yang mengambil jumlah qubit yang berbeda sebagai inputnya, bagaimana kita menafsirkan sirkuit ini sebagai sebuah matriks?

Berikut ini contoh mainan:

Sirkuit spesifik

Gerbang pertama adalah gerbang Hadamard yang biasanya diwakili oleh

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$

Sekarang, karena kami hanya menerapkannya pada qubit pertama, kami menggunakan produk kronecker di atasnya (ini sangat membingungkan saya ketika saya mulai - saya tidak tahu bagaimana skala gerbang; seperti yang dapat Anda bayangkan, ini agak penting ), jadi kita lakukan , di mana saya adalah matriks identitas 2x2. Ini menghasilkan$H\otimes I$$I$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

Selanjutnya kita memiliki gerbang CNOT. Ini biasanya diwakili oleh

$$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$

Ini adalah ukuran yang tepat untuk dua qubit, jadi kita tidak perlu skala menggunakan produk kronecker. Kami kemudian memiliki gerbang hadamard lain, yang timbangannya sama dengan yang pertama. Untuk menemukan matriks keseluruhan untuk rangkaian, maka, kami gandakan semuanya:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

dan dapatkan

$$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$$

(jika python dikalikan dengan benar =) Kami kemudian akan mengalikannya dengan keadaan qubit asli kami, dan mendapatkan hasilnya.

Generalisasi

Jadi pada dasarnya, Anda melewati setiap gerbang satu per satu, mengambil representasi dasar, dan skala mereka menggunakan produk kronecker dengan matriks identitas. Kemudian Anda gandakan semua matriks bersama-sama sesuai urutannya. Pastikan untuk melakukan ini sehingga jika Anda menulis perkalian, gerbang pertama ada di paling kanan; seperti yang ditunjukkan oleh arriopolis, ini adalah kesalahan umum. Matriks tidak komutatif! Jika Anda tidak tahu representasi dasar dari sebuah matriks, periksa dulu artikel wikipedia tentang gerbang kuantum yang memiliki banyak.