Signifikansi operasi Clifford dari perspektif koreksi kesalahan kuantum

Dalam literatur tentang QECC, gerbang Clifford menempati status tinggi.

Pertimbangkan contoh-contoh berikut yang membuktikan hal ini:

• Ketika Anda mempelajari kode stabilizer, Anda secara terpisah mempelajari cara melakukan gerbang Clifford yang dikodekan (bahkan jika ini tidak berlaku secara transversal). Semua materi pengantar pada QECC menekankan pada melakukan operasi Clifford yang dikodekan pada kode kuantum. Dan sebaliknya, tekankan pada gerbang Clifford (yaitu, bahkan ketika tidak melakukan gerbang Clifford yang dikodekan dalam kode kuantum).

• Seluruh topik penyulingan keadaan ajaib * didasarkan pada klasifikasi operasi tertentu (termasuk kinerja gerbang Clifford) sebagai operasi berbiaya rendah, sementara, misalnya, melakukan gerbang toffoli atau gerbang , seperti operasi berbiaya lebih tinggi.$\pi/8$

Jawaban yang memungkinkan:

1. Ini telah dibenarkan di tempat-tempat tertentu dalam literatur, untuk misalnya, disertasi PhD Gottesman dan banyak makalah olehnya, dan juga di https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . Alasan yang diberikan di tempat-tempat ini adalah memungkinkan untuk melakukan beberapa gerbang Clifford secara transversal (operasi toleran-Kesalahan prototipe) pada kode stabilizer tertentu. Di sisi lain, tidak mudah untuk menemukan aplikasi transversal gerbang non-Clifford pada kode kuantum. Saya belum memverifikasi ini sendiri, tetapi saya hanya akan pergi dengan pernyataan yang dibuat Gottesman dalam PhD-nya. disertasi dan beberapa artikel ulasan.

Tidak dapat melakukan gerbang yang dikodekan secara transversal pada kode kuantum segera meningkatkan biaya melakukan gerbang tersebut pada kode. Dan karenanya gerbang Clifford yang berkinerja masuk ke dalam kategori berbiaya rendah, sedangkan gerbang non-Clifford masuk ke dalam kategori berbiaya tinggi.

2. Dari perspektif teknik, penting untuk memutuskan daftar standar unit dasar perhitungan kuantum (persiapan negara, gerbang, pengukuran-dapat diamati / basis), dll. Melakukan gerbang Clifford membuat pilihan yang nyaman pada daftar itu karena berbagai alasan (set paling terkenal dari gerbang kuantum universal termasuk banyak gerbang Clifford di dalamnya, teorema Gottesman-Knill **, dll).

Ini adalah satu-satunya dua alasan yang bisa saya pikirkan mengapa kelompok Clifford memiliki status yang begitu tinggi dalam studi QECC (terutama ketika Anda mempelajari kode stabilizer). Kedua alasan berasal dari perspektif teknik.

Jadi pertanyaannya adalah dapatkah seseorang mengidentifikasi alasan lain, yang tidak berasal dari perspektif teknik? Apakah ada beberapa peran utama lain yang dimainkan gerbang Clifford, yang saya lewatkan?

Kemungkinan alasan lain: Saya tahu bahwa grup Clifford adalah normaliser dari grup Pauli dalam grup Unitary (pada sistem qubit). Juga, bahwa ia memiliki struktur produk setengah jadi (sebenarnya representasi projektif dari kelompok produk setengah jadi). Apakah hubungan / properti ini dengan sendirinya memberikan alasan lain mengapa seseorang harus mempelajari grup Clifford terkait dengan kode Stabilizer?$n$

* Jangan ragu untuk memperbaikinya. ** Yang menyatakan bahwa terbatas pada operasi tertentu, Anda tidak dapat memperoleh keuntungan kuantum, dan karenanya Anda perlu sedikit lebih banyak daripada rangkaian operasi yang awalnya Anda batasi.

Operasi Clifford seringkali mudah dilakukan dengan toleransi kesalahan dalam kode stabilizer, baik secara transversal maupun dengan deformasi kode. Alasannya persis seperti yang Anda pikirkan: hubungan khusus antara gerbang ini dan Paulis, karena yang terakhir digunakan untuk mendefinisikan kode stabilizer.

Dimungkinkan untuk mendapatkan gerbang non-Clifford dalam kode, tetapi harga harus dibayar. Secara khusus, ada hubungan antara lokalitas geometris kode dan gerbang yang dapat mereka lakukan secara transversal. Jadi, jika Anda diizinkan untuk melakukan hanya gerbang yang dikontrol tetangga terdekat pada kisi 2D (seperti permukaan atau kode warna), hanya Cliffords yang dimungkinkan. Lihat kertas seperti ini untuk informasi lebih lanjut tentang ini.

Fakta bahwa kita dapat mengharapkan Clifford yang toleran terhadap kesalahan dari kode-kode stabilizer kemudian ditempatkan di jantung teknik untuk mensintesis set gerbang universal. Jadi jika ada cara untuk membuat negara yang disandikan non-stabilisator dengan cara yang tidak toleran, kita tahu cara membersihkannya menggunakan Clifford logis kita. Untuk mengubah status ini menjadi rotasi, kami menggunakan Cliffords logis kami. Jadi, jika Anda memiliki kode dan ingin menerapkan semua hasil ini, Anda sebaiknya menemukan Cliffords yang toleran terhadap kesalahan Anda. Atau setidaknya Paulis, H dan CZ atau CNOT jika Anda tidak bisa mengatur semuanya.