Keuntungan mensimulasikan orang Hamilton yang jarang

Dalam jawaban @ DaftWullie untuk pertanyaan ini ia menunjukkan bagaimana cara merepresentasikan dalam hal gerbang kuantum matriks yang digunakan sebagai contoh dalam artikel ini . Namun, saya percaya itu tidak mungkin memiliki matriks yang terstruktur dengan baik dalam contoh kehidupan nyata, oleh karena itu saya mencoba untuk melihat metode lain untuk mensimulasikan Hamiltonian. Saya telah menemukan dalam beberapa artikel referensi untuk yang ini oleh Aharonov dan Ta-Shma di mana, antara lain mereka menyatakan bahwa adalah mungkin untuk memiliki beberapa keuntungan dalam mensimulasikan orang hamil yang jarang . Namun, setelah membaca artikel itu, saya belum mengerti bagaimana simulasi hamilton yang jarang dilakukan. Masalahnya biasanya disajikan sebagai salah satu pewarnaan grafik, tetapi juga melihat presentasi bahwa @Nelimee menyarankan untuk membaca untuk mempelajari exponentiation matriks, ini semua jatuh silmulasi melalui formula produk.

Untuk membuat contoh, mari kita ambil matriks acak seperti:

ini bukan hermitian, tetapi menggunakan saran dari Harrow, Hassidim dan Lloyd kita dapat membuat matriks hermitian mulai dari itu:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Sekarang saya memiliki matriks hermitian 2-8 8x8:

Dapatkah saya mensimulasikan evolusinya dengan cara lain selain metode formula produk?
Bahkan jika saya menggunakan formula produk, bagaimana saya mengeksploitasi fakta bahwa itu jarang? Apakah itu hanya karena ada lebih sedikit entri bukan nol dan karena itu akan lebih mudah untuk menemukan produk gerbang dasar?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation FSic
sumber

Jawaban:

$H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

Masalahnya adalah ini tidak selalu bekerja secara langsung dalam praktek. Untuk satu hal, masih ada banyak elemen matriks yang harus Anda lalui secara eksponensial, tetapi itu akan selalu menjadi kasus dengan cara Anda mengaturnya.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

DaftWullie
sumber

Hanya 2 hal yang saya tidak mengerti: 1) apa maksud Anda ketika Anda mengatakan bahwa Anda selalu menyertakan pasangan konjugasi kompleks? 2) Pengetahuan tentang posisi yang diberikan oleh oracle harus membantu kita dengan cara apa? Dengan membantu kami menentukan satuan kesatuan yang mewakili Hamiltonian yang terurai?

FSic

@ F.Siciliano (2) Pengetahuan dari oracle membantu karena memungkinkan Anda bekerja hanya melalui elemen non-nol dari matriks daripada harus melalui setiap elemen dari matriks untuk mencari tahu mana yang bukan nol.

DaftWullie

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$