Apakah kesetaraan Clifford lokal memiliki representasi grafis langsung untuk status grafik qudit dimensi non-prima?

Pertanyaan ini merupakan tindak lanjut dari pertanyaan QCSE sebelumnya: " Apakah grafik qudit dinyatakan dengan baik untuk dimensi non-prime? ". Dari jawaban pertanyaan, tampaknya tidak ada yang salah dalam mendefinisikan keadaan grafik menggunakan q-dimensi , tetapi tampaknya aspek definisi lain dari keadaan grafik tidak sama meluas ke dimensi non-prima.$d$

Secara khusus, untuk status grafik qubit, satu aspek kunci untuk prevalensi dan penggunaannya adalah kenyataan bahwa: setiap dua status grafik adalah setara dengan Clifford lokal jika dan hanya jika ada beberapa rangkaian pelengkap lokal yang membawa satu grafik ke grafik lainnya (untuk yang sederhana, grafik tidak berarah). Tidak perlu dikatakan, ini adalah alat yang sangat berguna dalam analisis koreksi kesalahan kuantum, keterikatan dan arsitektur jaringan.

Ketika mempertimbangkan status grafik qudit, grafik ekuivalennya sekarang ditimbang dengan matriks adjacency A ∈ Z n × n d , di mana A i j adalah bobot edge ( i , j ) (dengan A i j = 0 menunjukkan tidak ada edge yang ada ). Dalam kasus qudit, ditunjukkan bahwa kesetaraan LC juga dapat diperpanjang dengan generalisasi komplementasi lokal ( ∗ a v ) dan dimasukkannya operasi perkalian tepi ( ∘ b$n$$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$), di mana: manaa,b=1,…,d-1dan semua aritmatika dilakukan modulop.

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ $a, b = 1, \ldots, d-1$$p$

Secara grafis, ini diwakili oleh operasi berikut (direproduksi dari ref. 2 ):

Namun, jika keadaan grafik didefinisikan pada qudit dari dimensi non-prima, maka kita dapat melihat operasi ini (tampaknya) gagal mewakili kesetaraan LC.

$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$dipisahkan dari semua qudit lainnya hanya menggunakan operasi lokal. Jelas ini salah dan terjadi karena masalah nol pembagi seperti yang disebutkan dalam jawaban pertanyaan sebelumnya .

Pertanyaan saya adalah: apakah ada setiap set operasi grafik yang benar mewakili kesetaraan Clifford lokal untuk negara grafik qudit dimensi non-prime?

Catatan: Saya terutama tertarik pada operasi yang secara langsung berlaku untuk representasi negara sebagai grafik berbobot tunggal, daripada dekomposisi yang mungkin menjadi beberapa keadaan grafik prime-dimensional, seperti yang disarankan dalam Sec. 4.3 dari " Status Qudit Entitas Tertentu Maksimal ".

Tidak benar menggunakan modulo aritmatika dalam konteks ini. Alih-alih bidang hitung terbatas harus diterapkan. Dalam mana dan konjugasi dari didefinisikan sebagai .$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

Tabel tambahan, perkalian dan konjugasi adalah sebagai berikut:

Dalam gambar ini kita memiliki , , , dan sedemikian rupa sehingga sehingga ketidakkonsistenan yang nyata tidak terjadi.$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$