Apakah keterjeratan transitif?

Apakah keterjeratan transitif , dalam pengertian matematika?

Lebih konkret, pertanyaan saya adalah ini:

Pertimbangkan 3 qubit $q_1, q_2$ dan $q_3$ . Asumsikan bahwa

$q_1$ dan $q_2$ terjerat, dan itu
$q_2$ dan $q_3$ terjerat

Lalu, apakah $q_1$ dan $q_3$ terjerat ? Jika demikian, mengapa? Jika tidak, apakah ada contoh tandingan yang konkret?

Menurut pendapat saya tentang keterjeratan:

qubit dan terjerat, jika setelah menelusuri , qbits dan terjerat (melacak sesuai dengan pengukuran dan membuang hasilnya). $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_3$
qubit dan terjerat, jika setelah menelusuri , qbits dan terjerat. $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$
qubit dan terjerat, jika setelah menelusuri , qbits dan $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$ terjerat.

Jangan ragu untuk menggunakan gagasan keterjeratan lainnya yang masuk akal (tidak harus seperti yang disebutkan di atas), selama Anda dengan jelas menyatakan gagasan itu.

entanglement Peter
sumber

Bisakah Anda mengkonfirmasi pernyataan terakhir? Setelah pertanyaan Anda, saya mengharapkan pernyataan serupa tetapi dengan label dalam urutan yang berbeda (pernyataan tentang keterjeratan q1 dan q3 setelah mengukur q2).

agaitaarino

@agaitaarino saya telah memperbarui bagian pada "keterjeratan", seharusnya lebih jelas sekarang ...

Peter

Saya telah menganggap kuadrat Latin sebagai matriks probabilitas di mana elemen-elemen untuk array satu dimensi "terjerat", dalam hal probabilitas untuk setiap elemen yang diungkapkan adalah saling bergantung. Ketika Anda menambahkan dimensi, array satu dimensi itu secara orthogonal berpotongan dengan array satu dimensi lainnya, memperluas "keterjeratan". (Dugaan saya adalah ini adalah tentang jauh di dalam gulma karena orang bisa mendapatkan kembali: gagasan atipikal terjerat, tapi saya bukan orang pertama yang mengajukan ide beberapa "kesamaan dalam roh" antara QT dan kotak Latin / Sudoku.) Terima kasih kasih atas pertanyaan ini!

DukeZhou

Sekarang setelah Anda mengklarifikasi bahwa Anda membuang hasil pengukuran, ini bukan keterjeratan yang dilokalisasi yang saya pikir Anda bicarakan, itu adalah gagasan yang lebih standar .. Lebih baik berbicara tentang "melacak" qubit tambahan daripada mengukur dan membuang hasilnya.

DaftWullie

@DaftWullie Terima kasih! Saya telah memperbarui pertanyaan yang sesuai

Peter

Jawaban:

TL; DR: Itu tergantung pada bagaimana Anda memilih untuk mengukur keterikatan pada sepasang qubit. Jika Anda melacak qubit tambahan, maka "Tidak". Jika Anda mengukur qubit (dengan kebebasan untuk memilih basis pengukuran yang optimal), maka "Ya".

Biarkan menjadi negara kuantum murni 3 qubit, diberi label A, B, dan C. Kami akan mengatakan bahwa A dan B terjerat jika tidak positif di bawah aksi dari peta transpos parsial. Ini adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk mendeteksi keterikatan dalam sistem dua-qubit. Formalisme jejak parsial setara dengan mengukur qubit C secara sewenang-wenang dan membuang hasilnya. $|\Psi\rangle$ $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

Ada kelas contoh tandingan yang menunjukkan bahwa keterjeratan tidak transitif , dari bentuk disediakan. Jika Anda melacak qubitatau qubit, Anda akan mendapatkan matriks kerapatan yang sama dua kali:

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 1 ϕ ϕ ⟩),

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

Anda dapat mengambil transpos parsial dari ini (membawanya pada sistem pertama adalah yang terbersih):

ρ_{SEBUAH C} = ρ_{SEBUAH B} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 00 ⟩ ⟨ 1 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 00 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

Sekarang ambil determinan (yang sama dengan produk dari nilai eigen). Anda mendapatkan

ρ^{P T} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 10 ⟩ ⟨ 0 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 0 ϕ ⟩ ⟨ 10 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$

yang negatif, sehingga harus ada nilai eigen negatif. Dengan demikian,

dan

adalah pasangan terjerat. Sementara itu

det (ρ^{P T}) = - \frac{1}{16} | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2} (1 - | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

Karena ini adalah matriks kerapatan yang valid, ini adalah non-negatif. Namun, transpos parsial sama dengan dirinya sendiri. Jadi, tidak ada nilai eigen negatif dan

tidak terjerat.

ρ_{B C} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | ϕ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ϕ |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$

Keterikatan yang Dapat Dilokalisasi

Orang mungkin, sebaliknya, berbicara tentang keterjeratan yang dapat dilokalisasi . Sebelum klarifikasi lebih lanjut, inilah yang saya pikir merujuk OP. Dalam hal ini, alih-alih menelusuri qubit, orang dapat mengukurnya berdasarkan pilihan Anda, dan menghitung hasilnya secara terpisah untuk setiap hasil pengukuran. (Ada kemudian beberapa proses rata-rata, tetapi itu tidak akan relevan bagi kita di sini.) Dalam hal ini, tanggapan saya secara khusus tentang keadaan murni, bukan keadaan campuran.

Kuncinya di sini adalah bahwa ada berbagai kelas negara terjerat. Untuk 3 qubit, ada 6 jenis kondisi murni:

negara yang sepenuhnya dapat dipisahkan
3 jenis di mana ada negara terjerat antara dua pihak, dan negara terpisah di pihak ketiga
negara-W
status GHZ

$(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

| W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩) | G H Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

DaftWullie
sumber

Terima kasih, ini sudah cukup banyak. Bisakah Anda mengarahkan saya ke ukuran keterjeratan "standar"? Saya mungkin ingin menggunakannya secara eksplisit dalam pertanyaan saya.

Peter

@ Peter: lihat apakah versi yang diedit lebih membantu.

DaftWullie

Terima kasih atas jawaban ini! Dapatkah saya mengajukan pertanyaan naif tentang cara simetri dalam konteks ini "Kedua wakil simetris dengan pertukaran partikel." (Saya sangat tertarik pada konsep simetri yang berbeda secara umum.)

DukeZhou

@ DavidWullie: mengingat bahwa jawaban Anda tampaknya "tidak, keterikatan tidak transitif, bahkan pada tiga sistem qubit", mungkin Anda harus menyingkat jawaban Anda untuk membuat ini sedikit lebih jelas?

Niel de Beaudrap

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$ . Jadi, jika saya memilih satu qubit untuk menjadi qubit khusus (misalnya C), dan membuat beberapa kesimpulan berdasarkan itu, tidak masalah qubit mana yang saya pilih, karena semuanya setara.

DaftWullie

Ini bukan jawaban, tetapi hanya beberapa fakta latar belakang yang penting untuk diketahui untuk menghindari wilayah "tidak salah" pada jenis pertanyaan ini.

"Keterikatan" tidak sepenuhnya atau tidak sama sekali. Hanya mengatakan "q1 terjerat dengan q2 dan q2 terjerat dengan q3" tidak cukup informasi untuk menentukan jawaban atas pertanyaan seperti "jika saya mengukur q3, apakah q1 masih akan terjerat dengan q2?". Keterikatan menjadi rumit ketika berhadapan dengan sistem yang lebih besar. Anda benar-benar perlu mengetahui keadaan spesifik, dan pengukuran, dan apakah Anda diizinkan untuk mengkondisikan hasil pengukuran.

Mungkin kasus bahwa q1, q2, q3 terjerat sebagai sebuah kelompok tetapi jika Anda melacak salah satu dari qubit maka matriks kerapatan dari dua sisanya menggambarkan keadaan berkorelasi klasik belaka. (Misalnya ini terjadi dengan status GHZ.)

Anda harus menyadari monogami keterjeratan . Melewati ambang tertentu, meningkatkan kekuatan keterjeratan antara q1 dan q2 harus mengurangi kekuatan keterjeratan antara q1 dan q3 (dan setara dengan q2 dan q3).

Craig Gidney
sumber

yay untuk menunjukkan monogami keterjeratan!

agaitaarino

@agaitaarino yang mengarah ke "entakan entakan" dan entropi Von Neumann!

DukeZhou

Saya membaca yang berikut di Freudenthal triple classification of three-qubit entanglement :

"Dür et al. ( Tiga qubit dapat dilibatkan dalam dua cara yang tidak setara ) menggunakan argumen sederhana tentang konservasi jajaran matriks kepadatan yang diperkecil di sini hanya ada enam kelas ekivalensi tiga qubit:

Null (Orbit keterikatan nol sepele yang sesuai dengan status menghilang)
Dipisahkan (Lain-lain orbit nol keterikatan untuk kondisi produk yang sepenuhnya dapat difaktorkan)
Biseparable (Tiga kelas keterikatan bipartit: A-BC, B-AC, C-AB)
W (Tiga arah negara terjerat yang tidak secara maksimal melanggar ketimpangan tipe-Bell) dan
GHZ (secara maksimal melanggar ketimpangan tipe-Bell) "

yang seperti yang saya pahami, jawaban untuk pertanyaan Anda adalah ya : jika A dan B terjerat dan B dan C terjerat, Anda tentu berada di salah satu dari tiga cara terjerat sehingga A dan C juga terjerat.

agaitaarino
sumber