Bagaimana saya menunjukkan bahwa keadaan dua-qubit adalah keadaan terjerat?

The Bell state $|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$adalah sebuah negara terjerat. Tetapi mengapa demikian? Bagaimana saya membuktikannya secara matematis?

Definisi

---

Status dua-qubit $|\psi\rangle \in \mathbb{C}^4$ adalah negara terjerat jika dan hanya jika ada tidak ada dua negara satu-qubit $|a\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ dan $|b\rangle = \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ sehingga $|a\rangle \otimes |b\rangle = |\psi\rangle$ , Di mana$\otimes$ menunjukkanproduk tensordan$\alpha, \beta, \gamma, \lambda \in \mathbb{C}$ .

Jadi, untuk menunjukkan bahwa negara Bell $|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$adalah sebuah negara terjerat, kita hanya harus menunjukkan bahwa terdapat ada dua negara satu-qubit$|a\rangle$dan$|b\rangle$sehingga$|\Phi^{+}\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$.

Bukti

---

Seandainya

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= |a\rangle \otimes |b\rangle \\ &= \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \otimes \left( \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \right) \end{align}$$

Kita sekarang dapat dengan mudah menerapkan properti distributif untuk mendapatkan

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= \cdots \\ &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Ini harus sama dengan , yaitu, kita harus menemukan koefisiena,β,γdanλ, sehingga$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Perhatikan itu, dalam ekspresi , kami ingin menjaga kedua | 00 ⟩ dan | 11 ⟩ . Karenanya, α dan γ , yang merupakan koefisien | 00 ⟩ , tidak dapat menjadi nol; dengan kata lain, kita harus memiliki α ≠ 0 dan γ ≠ 0 . Demikian pula,$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$|00\rangle$$|11\rangle$$\alpha$$\gamma$$|00\rangle$$\alpha \neq 0$$\gamma \neq 0$ dan λ , yang merupakan bilangan kompleks yang mengalikan | 11 ⟩ tidak dapat nol, yaitu ß ≠ 0 dan λ ≠ 0 . Jadi, semua bilangan kompleks α , β , γ ,dan λ harus berbeda dari nol.$\beta$$\lambda$$|11\rangle$$\beta \neq 0$$\lambda \neq 0$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

Tapi, untuk mendapatkan status Bell , kami ingin menyingkirkan | 01 ⟩ dan | 10 ⟩ . Jadi, salah satu angka (atau keduanya) mengalikan | 01 ⟩ (dan | 10 ⟩ ) dalam ekspresi a gamma | 00 ⟩ + a λ | 01 ⟩ + ß gamma | 10 ⟩ + ß λ | 11 ⟩ , yaitu α dan $|\Phi^{+}\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$\alpha$$\lambda$(dan, masing-masing, dan γ ), harus sama dengan nol. Tetapi kita baru saja melihat bahwa α , β , γ , dan λ semuanya harus berbeda dari nol. Jadi, kita tidak dapat menemukan kombinasi bilangan kompleks α , β , γ dan λ sedemikian rupa$\beta$$\gamma$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Dengan kata lain, kami tidak dapat mengekspresikan sebagai produk tensor dari dua status satu-qubit. Oleh karena itu, | Φ + ⟩ adalah keadaan terjerat.$|\Phi^{+}\rangle$$|\Phi^{+}\rangle$

Kita dapat melakukan bukti serupa untuk negara Bell lain atau, secara umum, jika kita ingin membuktikan bahwa suatu negara terjerat.

Keadaan murni dua qudit dapat dipisahkan jika dan hanya jika itu dapat ditulis dalam bentuk

$$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$$ untuk sewenang-wenang negara qudit tunggal $|\psi\rangle$ dan $|\phi\rangle$ . Kalau tidak, terjerat.

Untuk menentukan apakah keadaan murni terjerat, seseorang dapat mencoba metode brute force untuk mencoba menemukan keadaan yang memuaskan $|\psi\rangle$ dan $|\phi\rangle$ , seperti dalam hal ini jawaban. Ini tidak sempurna, dan kerja keras dalam kasus umum. Cara yang lebih mudah untuk membuktikan apakah keadaan murni ini terjerat adalah menghitung matriks densitas tereduksi $\rho$ untuk salah satu qudit, yaitu dengan menelusuri yang lain. Negara dipisahkan jika dan hanya jika $\rho$ memiliki peringkat 1. Kalau tidak terjerat. Secara matematis, Anda dapat menguji kondisi peringkat hanya dengan mengevaluasi $\text{Tr}(\rho^2)$. Keadaan semula dapat dipisahkan jika dan hanya jika nilai ini adalah 1. Jika tidak, kondisi akan terjerat.

Sebagai contoh, bayangkan seseorang memiliki keadaan murni yang dapat dipisahkan $|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$ . Kepadatan matriks berkurang pada $A$ adalah

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=|\psi\rangle\langle\psi|,$$ Dan $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|\cdot |\psi\rangle\langle\psi|)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1.$$ Dengan demikian, kita memiliki negara dipisahkan.

Sementara itu, jika kita ambil $|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$, maka

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\frac12\left(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\right)=\frac12\mathbb{I}$$ dan $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\frac14\text{Tr}(\mathbb{I}\cdot\mathbb{I})=\frac12$$ Karena nilai ini bukan 1, kami memiliki status terjerat.

Jika Anda ingin tahu tentang mendeteksi keterjeratan dalam keadaan campuran (bukan keadaan murni), ini kurang mudah, tetapi untuk dua qubit ada kondisi yang diperlukan dan cukup untuk pemisahan: positif di bawah operasi transpos parsial .