Apa itu kode Bacon-Shor dan apa signifikansinya?

Saya berada di konferensi AQC di NASA dan semua orang tampaknya tiba-tiba berbicara tentang kode Bacon-Shor tetapi tidak ada halaman Wikipedia dan pdf yang saya berikan tautannya tidak benar-benar menjelaskan apa itu dan bagaimana cara kerjanya.

Bagaimana cara membandingkannya dengan kode Shor ?

Perbedaan utama adalah bahwa kode Bacon-Shor adalah kode subsistem , sedangkan kode Shor adalah kode stabilizer . Mereka memiliki operator stabilizer yang sama , tetapi prosedur koreksi kesalahan berbeda. Referensi kanonik untuk konstruksi ini adalah [Poulin] .

Kode stabilizer bergantung pada pengukuran nilai eigen dari operator komuter (stabilisator). Karena operator ini bepergian, kami dapat memberi label subruang dari ruang keadaan dengan nilai eigen ini. Secara khusus, eigenspace +1 gabungan adalah ruang kode . Jika salah satu pengukuran kami menghasilkan nilai eigen -1, kami tahu bahwa negara telah keluar dari ruang kode dan (mudah-mudahan) dapat melakukan sesuatu untuk memperbaiki ini.

Dengan kode subsistem, kami juga mengukur nilai eigen dari beberapa operator, tetapi kali ini mereka tidak membentuk seperangkat operator komuter. Operator-operator ini disebut operator pengukur . Mereka menghasilkan kelompok yang disebut kelompok pengukur . Trik untuk konstruksi ini adalah bahwa pusat kelompok pengukur adalah kelompok penstabil. Ini adalah grup operator yang dihasilkan oleh operator gauge yang bepergian dengan setiap elemen grup gauge.

Bagaimana ini bekerja dalam praktek: misalkan Anda memiliki operator stabilizer ditulis sebagai produk dari operator alat ukur { g i } :$s$$\{g_i\}$

Sekarang kita lanjutkan dan ukur masing-masing . Setiap pengukuran memberikan nilai eigen acak λ i = ± 1 tetapi produk dari λ = ∏ λ i ini melabeli eigenspace dari s milik negara. Setelah kita memiliki semua nilai eigen dari stabilisator dengan cara ini kita dapat (mudah-mudahan) melakukan sesuatu untuk memperbaiki keadaan.$g_i$$\lambda_i = \pm 1$$\lambda = \prod \lambda_i$$s$

Contoh: Saya merasa terbantu dengan memikirkan "4-qubit Bacon-Shor code". Ini adalah kesalahan mendeteksi kode subsistem. Operator pengukur adalah

Pikirkan ini sebagai operasi pada kisi qubit. Operator ini menghasilkan stabilisator X X X X dan Z Z Z Z . Setelah kita mengukur X X saya saya dan saya saya X X kita kalikan dua pengukuran eigenvalue untuk menemukan nilai eigen dari X X X X . Operator pengukur ini "lebih mudah" untuk diukur, karena mereka hanya melibatkan dua qubit, tetapi biayanya adalah kita mengacaukan negara dengan cara lain. "Cara lain" ini adalah ukuran qubit$2\times 2$$XXXX$$ZZZZ.$$XXII$$IIXX$$XXXX$, dan kami tidak peduli tentang ini. Qubit yang disandikan, atau qubit logis adalah yang kita coba lestarikan. Operator yang bertindak pada qubit yang disandikan adalah operator logis . Untuk contoh ini ini dan X saya X saya . Sebagai latihan saya akan merekomendasikan bekerja vektor eigen yang sesuai (dan eigenspaces) untuk semua operator ini.$ZZII$$XIXI$

Kode Bacon-Shor yang lebih besar bekerja dengan cara yang sama. Untuk kisi qubit , ada banyak operator pengukur 2-qubit, disusun seperti "kartu domino" pada kisi. The X jenis operator alat ukur yang domino horisontal, dan Z jenis operator alat ukur yang domino vertikal. Tumpukan vertikal n dari domino tipe X menghasilkan stabilzer tipe X pada n × 2 qubit. Dan seterusnya.$n\times n$$X$$Z$$n$$X$$X$$n\times 2$

Relevansi dengan komputasi kuantum adiabatik adalah bahwa kita dapat membentuk Hamiltonian dari operator ini, sebagai jumlah negatif dari operator gauge. Ruang dasar Hamiltonian sesuai dengan qubit logis dari kode ukuran, dan kegembiraan negara sesuai dengan kesalahan. Untuk kode Bacon-Shor, jarak Hamiltonian ini menjadi nol ketika ukuran sistem bertambah. Oleh karena itu Hamiltonian ini tidak berfungsi untuk melindungi negara yang disandikan (penuh semangat). Hamiltonian ini juga dikenal sebagai model kompas kuantum .

Saya juga menulis makalah tentang kode subsistem dan orang Hamilton .

^{Penafian : Jawaban ini didasarkan pada apa yang saya simpulkan dari sesi Googling singkat. Saya mungkin akan membuat penambahan / peningkatan lebih lanjut saat dan ketika saya akan memahami detailnya lebih menyeluruh. Jangan ragu untuk memberikan saran di komentar.}

The -qubit kode Shor $9$ (qubit diletakkan dalam 3 × 3 kisi) adalah anggota terkecil dalam keluarga m 2 -qubit kode Bacon-Shor (s) [ [ m 2 , 1 , m ] ] (qubit diletakkan dalam m × m kisi). Kode Shor , seperti yang Anda tahu, dapat memperbaiki kesalahan tanda balik Pauli dan kesalahan bit-balik Pauli dalam qubit tunggal. Apalagi untuk mengoreksi$[[9,1,3]]$$3\times 3$$m^2$ $[[m^2,1,m]]$$m\times m$setiap kesalahan tunggal qubit (dengan probabilitas tinggi), itu sudah cukup untuk dapat memperbaiki terhadap satu qubit kesalahan Pauli. ^[1]

Sekarang, kode Bacon-Shor (s) adalah (/ adalah) suatu generalisasi dari konsep ini untuk model kebisingan dimana qubit s di sebuah blok kode tunduk kedua bit-flip kesalahan dengan probabilitas dan dephasing kesalahan dengan probabilitas p Z . Kebisingan diasumsikan bertindak secara independen pada setiap qubit dan kesalahan X dan Z tidak berkorelasi.$p_X$$p_Z$$X$$Z$

$X$$Z$$p$$m=\frac{\log 2}{4p}$$X$$Z$$\tilde p(p) \lesssim \exp(\frac{-0.06}{p})$

$n \times m$$Z$$X$

Referensi:

1. Koreksi Kesalahan Kuantum untuk Kenangan Kuantum (Barbara M. Terhal, 2015)
2. Kode Bacon-Shor yang Optimal (Napp & Preskill, 2012)
3. Komputasi kuantum yang toleran terhadap kesalahan dengan kode Bacon-Shor asimetris (Brooks & Preskill, 2013)

Kode Shor

Dapat mendeteksi dan memperbaiki kesalahan qubit tunggal yang sewenang-wenang, tetapi jika ada 2 atau lebih kesalahan qubit tunggal sebelum ronde koreksi, koreksi tersebut akan gagal. - Intuisi untuk probabilitas kegagalan kode Shor

Kode Bacon-Shor

Kode Bacon-Shor, kode subsistem kuantum yang cocok untuk aplikasi ke memori kuantum toleran-kesalahan karena sindrom kesalahan dapat diekstraksi dengan melakukan pengukuran dua-qubit. Kode Bacon-Shor yang optimal

Berlawanan dengan kode Shor, stabilisator ini tidak dapat mengidentifikasi qubit yang tepat di mana bit-flip terjadi, mereka hanya dapat mengidentifikasi kolom di mana itu terjadi. - Koreksi Kesalahan Kuantum

$[[n^2, 1, n]]$

Kami telah menunjukkan bahwa untuk setiap kode Shor yang digeneralisasikan terdapat kode subsistem dengan parameter yang sama tetapi yang membutuhkan pengukuran stabilizer yang jauh lebih sedikit untuk melakukan koreksi kesalahan kuantum. - Kesalahan Quantum Mengoreksi Subsistem Kode Dari Dua Kode Linear Klasik

Juga, ini adalah video dari Microsoft Universal Fault-Tolerant Computing dengan Bacon-Shor Codes .