Apakah semua

Teorema 2 dari [1] menyatakan:

Misalkan adalah aditif sub-kode diri ortogonal dari , mengandung vektor, sehingga tidak ada vektor berat di . Maka setiap eigenspace dari adalah kode koreksi kesalahan kuantum aditif dengan parameter .GF ( 4 ) n 2 n - k < d C ⊥ / C ϕ - 1 ( C ) [ [ n , k , d ] $C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

di mana di sini adalah peta antara representasi biner dari operator lipatan Pauli dan codeword yang terkait, dan adalah self- orthogonal jika mana adalah ganda . n C C ⊆ C ⊥ C ⊥$\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

Ini memberitahu kita bahwa setiap aditif ortogonal mandiri kode klasik mewakili kode kuantum . [ [ n , k , d ] $\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

Pertanyaan saya adalah apakah kebalikannya juga benar, yaitu: apakah setiap kode kuantum diwakili oleh aditif ortogonal mandiri kode klasik?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

Atau ekuivalen: Apakah ada kode kuantum yang tidak diwakili oleh aditif orthogonal mandiri kode klasik?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert, et al. "Koreksi kesalahan kuantum melalui kode lebih dari GF (4)." Transaksi IEEE tentang Teori Informasi 44.4 (1998): 1369-1387.

Batasan self-orthogonal aditif pada kode klasik untuk membuat kode kuantum stabilizer diperlukan karena fakta bahwa generator stabilizer harus berpindah di antara mereka untuk membuat ruang kode yang valid. Saat membuat kode kuantum dari kode klasik, hubungan pergantian untuk penstabil setara dengan memiliki kode klasik ortogonal mandiri.

$GF(4)^n$

Paradigma berbelit-belit ini untuk membangun QECC dari kode klasik apa pun disajikan di arXiv: 1610.04013 , yang didasarkan pada makalah "Memperbaiki Kesalahan Kuantum dengan Keterjeratan" yang diterbitkan dalam Science oleh Brun, Devetak dan Hsieh.

Pertanyaan Anda sebagian dapat dilihat sebagai masalah notasi.

$[[n,k,d]]_D$$D^k$

$((n,K,d))_D$$K$$K$$D$

$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$