Apakah mungkin untuk mempercepat pembuatan matriks pembobotan menggunakan algoritma kuantum?

Dalam makalah ini ^[1] , pada halaman 2, mereka menyebutkan bahwa mereka menghasilkan matriks bobot sebagai berikut:

$$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$$

di mana 's adalah d pelatihan berdimensi sampel (yaitu x : = { x 1 , x 2 , . . . , x d } T di mana x i ∈ { 1 , - 1 } ∀ i ∈ { 1 , 2 , . . . , d } ) dan ada $\mathbf{x}^{(m)}$$d$$\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$$x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$$M$sampel pelatihan total. Ini generasi pembobotan matriks menggunakan perkalian matriks diikuti oleh jumlah atas istilah tampaknya menjadi operasi yang mahal dalam hal kompleksitas waktu yaitu saya kira sekitar O ( M d ) (?).$M$$O(Md)$

Apakah ada algoritma kuantum yang dapat menawarkan peningkatan substansial untuk pembuatan matriks pembobot? Saya pikir dalam makalah speedup utama mereka berasal dari algoritma inversi matriks kuantum (yang disebutkan kemudian di atas kertas), tetapi mereka tampaknya tidak memperhitungkan aspek pembangkitan matriks pembobotan ini.

[1]: Jaringan Saraf Quantum Hopfield Lloyd et al. (2018)

Mengambil matriks kerapatan banyak detail semuanya terdapat dalam paragraf berikut di halaman 2:

$$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$$

Penting untuk adaptasi kuantum dari jaringan saraf adalah pembacaan klasik ke kuantum dari pola aktivasi. Dalam pengaturan kami, membaca dalam pola aktivasi sama dengan mempersiapkan keadaan kuantum | x 〉 . Hal ini pada prinsipnya dapat dicapai dengan menggunakan teknik pengembangan memori akses kuantum acak (qRAM) [33] atau persiapan keadaan kuantum yang efisien, yang hasilnya terbatas, berdasarkan ramalan, ada [34]. Dalam kedua kasus, overhead komputasi adalah logaritmik dalam hal d . Seseorang dapat secara alternatif mengadaptasi perspektif kuantum sepenuhnya dan mengambil pola aktivasi | x $x$$|x〉$$d$$|x〉$langsung dari perangkat kuantum atau sebagai output dari saluran kuantum. Untuk yang pertama, waktu menjalankan persiapan kami efisien setiap kali perangkat kuantum terdiri dari sejumlah gerbang yang paling banyak secara polinomial dengan jumlah qubit. Sebaliknya, untuk yang terakhir, kami biasanya melihat saluran sebagai beberapa bentuk interaksi sistem-lingkungan tetap yang tidak memerlukan overhead komputasi untuk diimplementasikan.

Referensi di atas adalah:

[33]: V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone, memori akses acak Quantum, Physical Review Letters 100, 160501 (2008) [ Tautan PRL , tautan arXiv ]

[34]: AN Soklakov, R. Schack, Persiapan keadaan efisien untuk register bit kuantum, Physical Review A 73, 012307 (2006). [ Tautan PRA , tautan arXiv ]

---

$\left|x\right>$$\mathcal O\left(\log_2 d\right)$

$\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$$m$

$\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$

Dengan demikian, penulis membuat satu dari tiga asumsi yang mungkin:

1. Mereka memiliki perangkat yang kebetulan memberi mereka kondisi input yang benar

2. $\rho^{\left(m\right)}$

3. Mereka dapat membuat status tersebut sesuka hati, menggunakan referensi kedua di atas. Keadaan campuran kemudian dibuat menggunakan saluran kuantum (yaitu peta yang benar-benar positif, pelacakan jejak (CPTP)).

Lupa tentang dua opsi pertama di atas untuk saat ini (yang pertama secara ajaib menyelesaikan masalah), saluran tersebut dapat berupa:

• $t$

• $n=\lceil\log_2 d\rceil$$\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$$\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$

---

$a$$\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$$d$$\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$$\rho$$\left|x^{\left(m\right)}\right>$$\mathcal O\left(n\right)$$\left|x^{\left(m\right)}\right>$$\rho$$\mathcal O\left(n\right)$

^{1 Terima kasih kepada @glS karena menunjukkan kemungkinan ini dalam obrolan}

---

$e^{-iAt}$

$$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$$