Mengapa dekomposisi Hamiltonian qubit-qutrit dalam hal matriks Pauli dan Gell-Mann tidak unik?

Jika saya memiliki gerbang bekerja pada qubit dan gerbang bekerja pada qutrit, di mana adalah matriks Gell-Mann , sistem akan dikenai Hamiltonian:$X$$\lambda_6$$\lambda_6$

$\lambda_6X= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Jika ada yang meragukan matriks ini, ini dapat dibuat dengan skrip berikut (MATLAB / oktaf):

lambda6=[0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];
X=      [0 1; 1 0 ];
kron(lambda6,X)

Namun pertimbangkan alternatif Hamiltonian:

$-\frac{1}{2}Z\lambda_1 + \frac{1}{2}\lambda_1 - \frac{1}{\sqrt{3}}X\lambda_8+\frac{1}{3}X$ .

Ini adalah Hamiltonian yang sama persis!

Script berikut membuktikannya:

lambda1=[0 1 0;1 0 0;0 0 0];
lambda8=[1 0 0;0 1 0;0 0 -2]/sqrt(3);
Z=      [1 0; 0 -1 ];
round(-0.5*kron(Z,lambda1)+0.5*kron(eye(2),lambda1)-(1/sqrt(3))*kron(X,lambda8)+(1/3)*kron(X,eye(3)))

"Putaran" pada baris kode terakhir dapat dihapus, tetapi formatnya akan lebih buruk karena sebagian dari 0 akhirnya sekitar .$10^{-16}$

1) Saya pikir dekomposisi Pauli untuk dua qubit itu unik, mengapa dekomposisi Pauli-GellMann dari qubit-qutrit menjadi non-unik?

2) Bagaimana saya mendapatkan dekomposisi dari matriks 6x6 di atas?$\lambda_6X$

Anda mendapatkan dua dekomposisi untuk matriks Anda (sebut saja ) karena Anda menggunakan dua basis operator yang berbeda.$A$

Dalam kasus pertama Anda mempertimbangkan matriks bertindak dalam ruang dimensi , yaitu, menggunakan basis operator { λ i σ j } i j ≡ { λ i ⊗ σ j } i j .$3\times 2$$\{\lambda_i\sigma_j\}_{ij}\equiv\{\lambda_i\otimes\sigma_j\}_{ij}$

Dengan kata lain, Anda menghitung koefisien , menemukan c 61 sebagai satu-satunya istilah yang tidak hilang. Penguraian ini akan menjadi unik, karena tr [ ( λ i σ j ) ( λ k σ l ) ] = N i j δ i k δ j l .$c_{ij}=\operatorname{tr}((\lambda_i\otimes \sigma_j) A)$$c_{61}$$\operatorname{tr}\big[ (\lambda_i\sigma_j)(\lambda_k\sigma_l) \big]=N_{ij} \delta_{ik}\delta_{jl}$

Di sisi lain, dekomposisi kedua diperoleh dengan memikirkan sebagai matriks dalam ruang dimensi 2 × 3 , yaitu, dengan mendekomposisi menggunakan basis operator { σ i λ j } i j ≡ { σ i ⊗ λ j } i j . Ini memberi Anda koefisien baru d i j ≡ tr ( ( σ i ⊗ λ j ) A ) , yang tidak harus (dan memang tidak) sama dengan $A$$2\times 3$$\{\sigma_i\lambda_j\}_{ij}\equiv\{\sigma_i\otimes\lambda_j\}_{ij}$$d_{ij}\equiv\operatorname{tr}((\sigma_i \otimes\lambda_j) A)$ .$c_{ij}$

Tidak ada paradoks karena dan { λ i ⊗ σ j } i j adalah dua basis operator yang sama sekali berbeda untuk ruang dimensi 6 .$\{\sigma_i\otimes\lambda_j\}_{ij}$$\{\lambda_i\otimes\sigma_j\}_{ij}$$6$

Ini pada dasarnya terlihat mirip dengan properti non-komutatif dari produk Kronecker: :$X\otimes \lambda_6\neq \lambda_6\otimes X$

$$X\otimes\lambda_6 = \begin{pmatrix}0&1 \\1&0\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}0&0&0 \\0&0&1 \\0&1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

Tidak mengejutkan, Anda tidak dapat membusuk menjadiXλ6.$-\frac{1}{2}Z\lambda_1 + \frac{1}{2}I_2\lambda_1 - \frac{1}{\sqrt{3}}X\lambda_8+\frac{1}{3}XI_3 = \lambda_6X$$X\lambda_6$

Namun, karena kedua matriks adalah kuadrat, mereka 'permutasi mirip', sehingga untuk beberapa matriks permutasi $X\otimes \lambda_6=P^T\left(\lambda_6\otimes X\right)P$ $P$

Dengan kata lain, untuk menjawab bagian 1, untuk permutasi / pemesanan yang diberikan, dekomposisi adalah unik, tetapi ketika pemesanan diubah, matriks / Hamiltonian mengalami rotasi , yang juga mengubah dekomposisi.$\left(P^T = P^{-1}\right)$

Menjadi jelas apa yang dapat digunakan untuk menguraikan matriks dari bentuk ini dengan membaginya menjadi sub-matriks: dengan menulis mana setiap sub-matriks A , B , C dan D adalah 3 Matriks × 3 , menjadi jelas bahwa A = D = 0 dan B = C = λ 6 , yang memverifikasi X λ 6 = ( 0 λ 6

$$X\lambda_6 = \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ $A, B, C$$D$$3\times 3$$A=D=0$$B=C=\lambda_6$ $$X\lambda_6 = \begin{pmatrix}0&\lambda_6\\\lambda_6&0\end{pmatrix} = X\otimes \lambda_6$$

$$M=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ $$A=0,\quad B=C=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\lambda_1$$

$B=C=\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8$

$$M=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8\\\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8&\lambda_1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\left(I-Z\right)\otimes\lambda_1 + X\otimes\left(\frac{1}{3}I_3-\frac{1}{\sqrt{3}}\lambda_8\right).$$

$$M=\begin{pmatrix}A&&B&&C\\D&&E&&F\\G&&H&&J\end{pmatrix},$$ $A=B=C=D=E=G=J=0$$F=H=X$ $$M=\begin{pmatrix}0&&0&&0\\0&&0&&X\\0&&X&&0\end{pmatrix}=\lambda_6\otimes X$$