Mengapa grup Pauli digunakan untuk stabilisator?

Ketika datang ke koreksi kesalahan, kami mengambil stabilisator kami untuk menjadi anggota grup Pauli. Mengapa kelompok Pauli digunakan untuk ini dan tidak, katakanlah, kelompok semua matriks kesatuan?

Ada beberapa alasan yang cukup sederhana - di luar sekadar historis - untuk menggunakan matriks Pauli alih-alih matriks kesatuan yang arbitrer. Alasan-alasan ini mungkin tidak secara unik memilih kelompok operator Pauli, tetapi mereka secara signifikan membatasi ruang lingkup dari apa yang produktif untuk dipertimbangkan.

1. Operator stabilizer , pertama dan terutama, harus memiliki nilai eigen +1; kalau tidak, tidak ada negara | ψ ⟩ yang 'stabil', dalam arti bahwa S | ψ ⟩ = | ψ ⟩ . Jadi, kita harus membatasi diri pada set operator yang memiliki +1 nilai eigen.$S$$\lvert \psi \rangle$$S \lvert \psi \rangle = \lvert \psi \rangle$

2. Kedua, kita harus mempertimbangkan bagaimana operator stabilizer dapat digunakan secara operasional. Jika kita tahu bahwa ada simetri dari sistem yang harus dipegang, tetapi kita tidak memiliki cara untuk menentukan apakah simetri itu berlaku atau tidak (yaitu, apakah beberapa kesalahan telah terjadi), maka kita keluar dari keberuntungan. Apa yang ingin kami lakukan selanjutnya adalah dapat melakukan estimasi fase untuk menguji apakah nilai eigen dari kondisi tertentu sehubungan dengan beberapa operator yang diduga menstabilkan S sebenarnya +1, untuk menentukan apakah | ψ ⟩ menyimpang dari sifat-sifat yang memegang itu.$\lvert \psi \rangle$$S$$\lvert \psi \rangle$

   Ini memotivasi mempertimbangkan operator yang, ya, adalah kesatuan, tetapi juga di mana nilai eigen berbeda secara signifikan satu sama lain, agar estimasi fase untuk dengan mudah membedakan keadaan dengan kesalahan signifikan dari satu dengan kesalahan tidak signifikan. Ini memotivasi mempertimbangkan seperangkat n- qubit operator yang memiliki paling banyak 1 / p o l y ( n ) nilai eigen.$S$$n$$1/\mathrm{poly}(n)$

3. Bagian dari keseluruhan masalah adalah bahwa kami ingin mendeteksi dan memperbaiki operasi yang mungkin terlibat dalam transformasi kuantum yang rumit. Jika estimasi fase yang terlibat dalam estimasi nilai eigen dari operator stabilisasi itu sendiri rumit, kami tidak membantu situasinya.$S$

   Apa yang baik untuk masing-masing operator penstabil kami anggap memiliki struktur yang sangat sederhana: misalnya, kami mungkin secara khusus tertarik pada kasus bahwa mereka adalah produk tensor dari operasi 1- atau 2-qubit. Tampaknya masuk akal untuk mendekati subjek dengan mempertimbangkan setiap operator S menjadi produk tensor dari operasi qubit tunggal.$S$$S$

4. Untuk mempertimbangkan operasi produk tensor pada qubit, yang memiliki paling banyak 1 / p o l y ( k ) nilai eigen yang berbeda, termasuk +1 - dan tanpa memaksakan kendala canggung di mana operator single-qubit bertindak berdasarkan qubit mana - kami adalah lebih atau kurang kekuatan untuk mempertimbangkan operator kesatuan qubit tunggal yang nilai eigennya berkisar dalam beberapa himpunan terbatas E $k \leqslant n$$1/\mathrm{poly}(k)$ (terlepas dari k atau n ) yang mencakup +1.$E \subseteq \mathbb C$$k$$n$

   Kita dapat mereduksi ini menjadi kasus dengan mengamati bahwa memperkirakan nilai eigen dari operator produk tensor S = S 1 ⊗ S 2 ⊗ ⋯ ⊗ S k , di mana masing-masing S j memiliki satu nilai eigen +1 dan satu nilai eigen yang bukan +1, sama dengan melakukan versi estimasi eigen yang dipersingkat secara artifisial untuk operator$E = \{+1,-1\}$$S = S_1 \otimes S_2 \otimes \cdots \otimes S_k$$S_j$ yang memiliki nilai eigen ± 1 . Selanjutnya, untuk mempertimbangkan beberapa operator$P_j$$\pm 1$$S$yang berhasil memiliki ruang eigens +1 umum yang bermanfaat, akan membantu setiap operator S memiliki ruang eigens +1 sebesar mungkin; maka itu membantu semudah mungkin untuk nilai eigen masing-masing untuk dikalikan dengan +1. Ini lagi memotivasi kasus untuk nilai eigen dari$S_j$ menjadi ± 1 .$S_j$$\pm 1$

5. Tidak ada yang memaksa kita untuk mempertimbangkan kelompok operator yang dihasilkan oleh set tersebut, tetapi produk dari operator stabilizer kami juga akan menjadi operator stabilizer, dan kami memiliki cukup banyak kendala pada operator kami sehingga kami setidaknya dapat merenungkan grup yang dihasilkan oleh operator stabilizer kami secara wajar. .

   Kami memiliki operator dan S ′ = S ′ 1 ⊗ ⋯ ⊗ S ′ n yang faktor tensornya semuanya 1 atau pantulan non-sepele pada status single-qubit; produk mereka S j S ' j akan rotasi dengan sudut θ ditentukan oleh sudut antara eigenbases dari S j dan$S = S_1 \otimes \cdots \otimes S_n$$S' = S'_1 \otimes \cdots \otimes S'_n$$\mathbb 1$$S_j S'_j$$\theta$$S_j$$S'_j$. Jika kita ingin mendapatkan teori bersih yang bagus, kita mungkin ingin produk ini dari operator stabilizer untuk diri mereka mudah untuk mengukur: memotivasi ini memiliki menjadi sebanding dengan operator dengan nilai eigen ± 1 (sebenarnya S j S ' j akan memiliki nilai eigen ± i ), dalam hal S j dan S ' j anticommute.$S_j S'_j$$\pm 1$$S_j S'_j$$\pm i$$S_j$$S'_j$

Dengan demikian, kombinasi kendala teoretis dan praktis di atas cukup untuk menghasilkan sesuatu yang isomorfis untuk kelompok Pauli. Lebih jauh, karena operator Pauli memiliki teori yang cukup mudah dipahami, operator ini telah menghasilkan teori yang bermanfaat tentang koreksi kesalahan kuantum.

Sebuah pertanyaan yang adil adalah mana dari langkah-langkah di atas yang lebih sewenang-wenang daripada yang lain.

• Tidak akan mengherankan saya jika ada teori produktif koreksi kesalahan di mana kendala adalah operator produk tensor, yang faktor tensor memiliki nilai eigen , tetapi di mana operator yang mungkintidak perluanticommute (langkah 5 di atas).$\pm 1$

• Lebih canggih (dan lebih sulit) akan menjadi teori koreksi kesalahan yang kuat dan berguna di mana operator penstabil yang satu langkah termasuk operator yang bukan operator produk tensor (langkah 3 - yang akan memotivasi tidak terlalu khawatir tentang memiliki struktur grup di kelompok stabilisator yang ingin Anda ukur).

Dari perspektif matematika murni, tidak ada yang jelas mencegah atau mencegah garis investigasi semacam itu - selain tentu saja dari kenyataan bahwa itu kemungkinan akan sulit dan juga kemungkinan tidak perlu - dan dalam hal ini, itu akan menjadi sempurna baik untuk mempertimbangkan teori koreksi kesalahan kuantum yang melampaui kelompok Pauli.

$k$$n$$n-k$ generator stabilizer independen.

Juga, kelompok Pauli terdiri dari operator Hermitian. Karena titik stabilisator harus diukur, maka berguna bagi mereka untuk menjadi Hermitian, karena mereka dapat langsung diartikan sebagai yang dapat diamati.

$\sigma_x$$|0\rangle$$|1\rangle$, dan sebaliknya".

Paulis tidak diperlukan, tetapi mereka memiliki properti yang bagus. Jadi itu sebabnya mereka fokus