Batas Kecepatan Lieb-Robinson yang Eksplisit

Batas Lieb-Robinson menggambarkan bagaimana efek disebarkan melalui sistem karena Hamiltonian lokal. Mereka sering digambarkan dalam bentuk mana dan adalah operator yang dipisahkan oleh jarak pada kisi di mana Hamiltonian memiliki lokal (misalnya tetangga terdekat) interaksi pada kisi itu, dibatasi oleh beberapa kekuatan . The bukti dari Lieb Robinson terikat biasanya menunjukkan adanya kecepatan (yang tergantung pada ). Ini sering sangat berguna untuk membatasi properti dalam sistem ini. Sebagai contoh, ada beberapa hasil yang sangat bagus di sini

$$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$$ $A$$B$$l$$J$$v$$J$ tentang berapa lama yang dibutuhkan untuk menghasilkan status GHZ menggunakan Hamiltonian tetangga terdekat.

Masalah yang saya punya adalah bahwa bukti-bukti yang cukup generik yang sulit untuk mendapatkan nilai yang ketat pada apa kecepatan sebenarnya adalah untuk setiap sistem yang diberikan.

Untuk lebih spesifik, bayangkan rantai qubit satu dimensi ditambah dengan Hamiltonian mana untuk semua . Di sini , Y_n dan Z_n mewakili operator Pauli yang diterapkan ke qubit n yang diberikan , dan \ mathbb {I} di tempat lain. Bisakah Anda memberikan batas atas yang baik (yaitu sekencang mungkin) untuk kecepatan Lieb-Robinson v untuk sistem dalam Persamaan. (1)

$$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$$ $J_n\leq J$$n$$X_n$$Y_n$$Z_n$$n$$\mathbb{I}$$v$

Pertanyaan ini dapat ditanyakan dengan dua asumsi berbeda:

• The $J_n$ dan $B_n$ semua tetap dalam waktu
• The $J_n$ dan $B_n$ diperbolehkan untuk bervariasi dalam waktu.

Yang pertama adalah asumsi yang lebih kuat yang dapat membuat bukti lebih mudah, sedangkan yang terakhir biasanya dimasukkan dalam pernyataan batas Lieb-Robinson.

---

Motivasi

Komputasi kuantum, dan informasi kuantum yang lebih umum, muncul untuk membuat keadaan kuantum yang menarik. Melalui karya-karya seperti ini , kita melihat bahwa informasi membutuhkan sejumlah waktu untuk menyebar dari satu tempat ke tempat lain dalam sistem kuantum yang mengalami evolusi karena orang Hamilton seperti Persamaan. (1), dan status kuantum, seperti status GHZ, atau status dengan urutan topologi, membutuhkan waktu tertentu untuk diproduksi. Apa yang ditunjukkan oleh hasil saat ini adalah relasi penskalaan, misalnya waktu yang diperlukan adalah $\Omega(N)$ .

Jadi, katakanlah saya datang dengan skema yang tidak mentransfer informasi, atau menghasilkan GHZ negara dll dengan cara yang skala linear di . Seberapa baik skema itu sebenarnya? Jika saya memiliki kecepatan eksplisit, saya dapat melihat seberapa dekat koefisien penskalaan dalam skema saya dibandingkan dengan batas bawah.$N$

Jika saya berpikir bahwa suatu hari yang ingin saya lihat adalah protokol yang diterapkan di lab, maka saya sangat peduli untuk mengoptimalkan koefisien penskalaan ini, bukan hanya fungsi penskalaan yang luas, karena semakin cepat saya dapat mengimplementasikan protokol, semakin sedikit kesempatan di sana. adalah untuk kebisingan datang dan mengacaukan semuanya.

---

Informasi lebih lanjut

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Ada beberapa fitur bagus dari Hamiltonian ini yang saya anggap membuat perhitungan lebih mudah. Secara khusus, Hamiltonian memiliki struktur ruang bagian berdasarkan jumlah 1s dalam standar dasar (dikatakan mempertahankan eksitasi) dan, lebih baik lagi, transformasi Jordan-Wigner menunjukkan bahwa semua sifat dari ruang bagian eksitasi yang lebih tinggi dapat diturunkan. dari subruang 1-eksitasi.$N\times N$$h$$2^N\times 2^N$$H$h = N ∑ n = 1 B n | n ⟩ ⟨ n | + N - 1 Σ n = 1 J n ( | n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n | ) . v = 2 J 2 J, di mana Ada beberapa bukti bahwa kecepatan Lieb-Robinson adalah , seperti di sini dan di sini , tetapi ini semua menggunakan rantai yang mendekati gabungan, yang memiliki kecepatan grup (dan saya berasumsi bahwa kecepatan grup terkait erat dengan Kecepatan Lieb-Robinson). Itu tidak membuktikan bahwa semua pilihan kekuatan kopling yang memungkinkan memiliki kecepatan yang sangat dibatasi.

$$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$$ $v=2J$$2J$

Saya dapat menambahkan sedikit lebih jauh pada motivasi. Pertimbangkan evolusi waktu dari satu eksitasi tunggal yang dimulai pada satu ujung rantai, , dan berapa amplitudo untuk tiba di ujung rantai yang lain , waktu yang singkat nanti. Untuk urutan pertama dalam , ini adalah Anda dapat melihat fungsionalitas eksponensial yang Anda harapkan berada di luar 'kerucut cahaya' yang ditentukan oleh sistem Lieb-Robinson, tetapi yang lebih penting, jika Anda ingin memaksimalkan amplitudo itu, Anda akan mengatur semua$\ket{1}$$\ket{N}$$\delta t$$\delta t$

$$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$$ $J_n=J$. Jadi, dalam waktu singkat, sistem yang digabungkan secara seragam mengarah ke transfer paling cepat. Mencoba untuk mendorong ini lebih jauh, Anda dapat bertanya, sebagai sedikit kebohongan, kapan bisa Mengambil batas besar , dan menggunakan rumus Stirling pada faktorial mengarah ke yang menunjukkan kecepatan maksimum sekitar . Tutup, tetapi tidak terlalu ketat (karena persyaratan pesanan tinggi tidak dapat diabaikan)! $$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$$ $N$ $$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$$ $eJ$

$$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$$

Biarkan saya menjawab pertanyaan umum bagaimana cara mendapatkan kecepatan Lieb-Robinson (LR) yang cukup ketat ketika Anda menghadapi model kisi yang berinteraksi secara lokal secara generik, dan kemudian saya akan kembali ke model 1D XY dalam pertanyaan Anda, yang sangat khusus untuk dipecahkan secara tepat.

---

Metode umum

Metode untuk mendapatkan terikat paling ketat saat ini (untuk model interaksi jarak pendek generik) diperkenalkan dalam Ref1 = arXiv: 1908.03997 . Gagasan dasarnya adalah norma komutator waktu yang tidak merataantara operator lokal sewenang-wenang dapat dibatasi oleh solusi untuk satu set persamaan diferensial linear orde pertama yang hidup pada grafik komutatifitas model. Grafik komutatif, seperti yang diperkenalkan pada Sec.II A dari Ref1, dapat dengan mudah diambil dari model Hamiltonian , dan dirancang untuk mencerminkan hubungan pergantian antara berbagai operator lokal yang disajikan dalam$\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$H H ω max ( i → κ$\hat{H}$$\hat{H}$. Dalam sistem invarian terjemahan, rangkaian persamaan diferensial ini dapat dengan mudah dipecahkan oleh transformasi Fourier, dan batas atas kecepatan LR dapat dihitung dari frekuensi eigenfrequency terbesar menggunakan Persamaan (31) dari Ref1 . Berikut ini saya akan menerapkan metode ini untuk model 1D XY sebagai contoh pedagogis. Untuk kesederhanaan, saya akan fokus pada case invarian-independen dan terjemahan , (batas yang dihasilkan tidak tergantung pada tanda-tanda$\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$| B n | = B > 0 | J n | = J > 0 B n , J n | J n ( t ) | ≤ J , | B n ($|B_n|=B>0$$|J_n|=J>0$$B_n,J_n$). Untuk terjemahan yang tidak berubah-ubah, bergantung pada waktu, Anda dapat menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik (yang merupakan tugas komputasi yang mudah untuk sistem ribuan situs), atau Anda dapat menggunakan keseluruhan batas atas dan lanjutkan untuk menggunakan metode di bawah ini (tapi ini sedikit kompromi sesaknya dibandingkan dengan metode numerik).$|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

1. Pertama-tama kita menggambar grafik komutatifitas, seperti di bawah ini. Setiap operator di Hamiltonian ~ ( , , ) diwakili oleh sebuah vertex, dan kami menautkan dua simpul jika dan hanya jika operator terkait tidak bepergian ( atau, dalam kasus saat ini, anti-perjalanan). $X_{n}X_{n+1}$$Y_nY_{n+1}$$Z_n$

2. Kemudian tuliskan persamaan diferensial Persamaan (10) dari Ref1 :

   $$\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$$

3. Fourier mentransformasikan persamaan di atas, kita memiliki Frekuensi eigen adalah . Kecepatan LR diberikan oleh Pers. (31) dari Ref1 : mana

   $$\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $$v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$$ $$\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$$

Catatan: Ini terikat berbeda ketika , sedangkan kecepatan propagasi informasi fisik tetap terbatas. Kita bisa menyingkirkan masalah ini dengan menggunakan metode di Sec. VI dari Ref1 . Hasilnya adalah dalam batas ini, di mana didefinisikan sebagai solusi untuk persamaan .$B/J\to \infty$$v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$$\mathcal{X}_y$$x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

---

Batas kecepatan untuk beberapa model klasik

Metode di atas sepenuhnya umum. Jika Anda tertarik lebih dalam, saya mencantumkan batas kecepatan untuk beberapa model klasik pada tabel berikut, yang diperoleh dengan cara yang sama. Perhatikan bahwa kecepatan LR dibatasi oleh yang terkecil dari semua ekspresi yang terdaftar (jadi di wilayah parameter yang berbeda, ekspresi yang berbeda harus digunakan). Fungsi didefinisikan sebagai root terbesarSemua parameter diasumsikan positif (ambil saja nilai absolut untuk kasus negatif).$v_{\text{LR}}$$F(J_x,J_y,J_z)$$x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

$$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$$

Adapun seberapa baik batas-batas ini, saya belum menyelidiki secara umum, tetapi untuk TFIM 1D pada titik kritis , solusi tepat memberikan , sedangkan batas di atas memberikan . Demikian pula, pada titik FH dan titik Heisenberg XYZ, batas di atas semuanya lebih besar dari solusi tepat dengan faktor . [Sebenarnya pada titik-titik khusus ini dua yang terakhir setara dengan rantai TFIM yang terpisah, seperti yang dapat dinilai secara langsung dari grafik komutatifitas mereka.]$J=h$$v_{\text{LR}}=2J$$2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$$U=0$$J_x=J_y,J_z=0$$\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

---

Terikat ketat untuk 1D XY dengan memetakan ke fermion gratis

Sekarang mari kita bicara lebih banyak tentang model 1D XY. Seperti yang Anda perhatikan, ini dapat dipecahkan dengan memetakan fermion gratis: Untuk umum Anda perlu menyelesaikan masalah free-fermion secara numerik, tetapi izinkan saya menyebutkan dua kasus khusus yang secara analitik dapat ditelusuri.

$$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$$ $B_n(t),J_n(t)$

1. $B_n(t)=B,J_n(t)=J$ adalah tetap dan terjemahan tidak berubah. Maka solusi yang tepat adalah mana adalah fungsi Bessel dari urutan. Jadi kecepatan LR adalah .

   $$\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$$|n-m|$$\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$

2. $B_n,J_n$ diperbaiki dalam waktu tetapi benar-benar acak (gangguan padam). Kemudian karena lokalisasi banyak-tubuh (atau lokalisasi Anderson dalam gambar fermion), informasi tidak menyebar di sistem ini, jadi . Lebih tepatnya, di arXiv: quant-ph / 0703209 , batasan berikut ini terbukti untuk kasus tidak teratur: dengan kerucut cahaya logaritmik yang melambat .v LR = 0 [ A X ($v_{\text{LR}}=0$

   $$[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$$ $d_{XY}=\xi \ln t$