Apa perbedaan antara Momen Polar Inersia,

Pertanyaan ini pada dasarnya mendasar sehingga saya hampir malu untuk bertanya tetapi muncul di tempat kerja beberapa hari yang lalu dan hampir tidak ada seorang pun di kantor yang dapat memberi saya jawaban yang baik. Saya menghitung tegangan geser pada anggota menggunakan persamaan, dan memperhatikan, bahwa untuk poros dengan penampang silang lingkaran, .$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

Baik dan digunakan untuk menggambarkan kemampuan objek untuk menahan torsi. didefinisikan sebagai, mana = jarak radial ke sumbu yang . Tetapi tidak memiliki persamaan analitik yang tepat dan sebagian besar dihitung dengan persamaan perkiraan yang tidak ada referensi yang saya lihat.$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

Jadi pertanyaan saya adalah, apa perbedaan antara Momen Polar Inersia, , dan konstanta puntir, ? Tidak hanya secara matematis, tetapi juga praktis. Apa properti fisik atau geometris masing-masing representasi? Mengapa begitu sulit untuk dihitung?$I_P$$J_T$$J_T$

Konstanta torsi $J_T$ menghubungkan sudut putaran dengan torsi yang diterapkan melalui persamaan:

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ dimana $T$ adalah torsi yang diterapkan, $L$ adalah panjang anggota, $G$ adalah modulus elastisitas dalam geser, dan $J_T$ adalah konstanta torsional.

Momen inersia kutub di sisi lain, adalah ukuran dari ketahanan penampang terhadap torsi dengan penampang invarian dan tidak ada lengkungan yang signifikan .

Kasus batang melingkar di bawah puntir adalah istimewa karena simetri sirkular, yang berarti tidak melengkung dan penampang tidak berubah di bawah puntir. Karena itu$J_T = I_P$.

Ketika seorang anggota tidak memiliki simetri lingkaran maka kita dapat berharap bahwa itu akan melengkung di bawah torsi dan karenanya $J_T \neq I_P$.

Yang menyisakan masalah bagaimana cara menghitung $J_T$. Sayangnya ini tidak langsung, itulah sebabnya nilai (biasanya perkiraan) untuk bentuk umum ditabulasikan.

Salah satu cara menghitung konstanta torsional adalah dengan menggunakan Prandtl Stress Function (yang lain adalah dengan menggunakan fungsi warping ).

Tanpa terlalu detail, kita harus memilih fungsi stres Prandtl $\Phi$yang mewakili distribusi tegangan dalam anggota dan memenuhi syarat batas (tidak mudah secara umum!). Itu juga harus memenuhi persamaan kesesuaian Poisson:

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ Dimana $\theta$ adalah sudut putaran per satuan panjang.

Jika kita sudah memilih fungsi stress maka itu $\Phi = 0$ pada batas (kondisi batas bebas traksi) kita dapat menemukan konstanta torsional dengan:

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Contoh: Batang penampang lingkaran

Karena simetri penampang silang yang dapat kita ambil:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ di mana R adalah jari-jari luar. Kami kemudian mendapatkan: $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Contoh: Batang penampang elips

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ dan $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ yang tentu saja tidak sama dengan momen inersia sebuah elips: $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

Karena secara umum $J_T < I_P$, jika Anda menggunakan momen polar inersia alih-alih konstanta torsional Anda akan menghitung sudut twist yang lebih kecil.

Ini hampir merupakan suatu kebetulan, dan itu hanya berlaku untuk penampang bundar padat atau berongga. Tentu saja poros membawa torsi sering adalah melingkar, untuk alasan yang independen dari pertanyaan!

Torsi poros melingkar secara fisik sederhana karena simetri bentuk melingkar. Dengan simetri, tegangan dan regangan pada titik mana pun hanya bisa merupakan fungsi jarak radial dari garis tengah poros. Dengan teorema Pythagoras, Anda dapat mengambil sepasang sumbu sembarang dan menyatakan jari-jari sebagai$r^2 = x^2 + y^2$.

Menggunakan fakta itu, Anda dapat mengubah integral atas bagian silang menjadi jumlah dari dua integral di $x$ dan $y$ arah, dan sekali lagi dengan simetri kedua integral harus sama satu sama lain.

Bentuk integral kebetulan persis bentuk matematika yang sama seperti saat-saat kedua area balok melingkar, yang mengarah ke hasil yang Anda tanyakan.

Ini tidak berfungsi untuk bagian non-lingkaran, karena distribusi tegangan tidak simetris secara radial. Sebagai contoh jika Anda membandingkan konstanta torsi dan momen polar dari bagian persegi yang padat, Anda akan menemukan "konstanta" dalam dua formula berbeda. Semakin banyak bagian melintang menyimpang dari lingkaran, semakin besar perbedaannya.

Konstanta torsi untuk bagian berbentuk kompleks (misalnya balok-I) sulit untuk dihitung karena distribusi tegangan pada bagian tersebut rumit, dan tidak ada "rumus" sederhana untuknya yang Anda integrasikan secara matematis. Banyak rumus untuk torsi dalam buku pegangan teknik didasarkan pada asumsi yang disederhanakan daripada solusi matematika "tepat".

Tetapi dalam kehidupan nyata "kesalahan" tidak terlalu penting, karena ketika beban torsional diterapkan pada struktur non-lingkaran, penampang "warp", yaitu mereka tidak lagi tetap pesawat . Dalam kehidupan nyata, jumlah lengkungan sering tidak diketahui, karena pengekangan di ujung poros mempengaruhinya. Jika Anda benar-benar membutuhkan perkiraan yang akurat dari kekakuan torsional komponen non-sirkular, Anda harus membuat model 3-D penuh dari komponen itu sendiri dan bagaimana hal itu diperbaiki ke seluruh struktur. Jika Anda membuat model dengan tingkat kerincian seperti itu, tidak ada gunanya mengurangi jawaban menjadi satu angka saja sehingga Anda dapat menyebutnya "kekakuan torsional".

Momen inersia kutub, Ip, adalah hambatan dari sebuah benda padat untuk dipuntir. Namun, momen massa rotasi inersia, J, adalah momen inersia dari benda padat yang berputar. Lihat web ini .

Seperti yang saya mengerti, J sama dengan momen inersia normal, tetapi untuk benda yang berputar.