Teorema transportasi Reynolds dan turunan material euler

Masalahnya serta pekerjaan saya sejauh ini ada di gambar.

Saya mulai dengan persamaan (2.23) dan menggunakan teorema divergensi untuk menyatakan suku kedua sebagai bagian integral permukaan dari persamaan masalah. Dari sana saya segera berakhir dengan apa yang tampak sebagai persamaan yang menyatakan bahwa turunan parsial dari bidang skalar di x sama dengan turunan penuh. Ini akan menyiratkan bahwa integral dari bagian konvektif adalah nol. Karena ini adalah kasus umum saya tidak berpikir saya bisa membuat pernyataan itu. Entah saya telah membuat kesalahan di suatu tempat atau saya tidak melihat bagaimana melanjutkan dari sini.

Sangat menghargai bantuan dalam mencari tahu di antara keduanya itu dan bagaimana saya harus melanjutkan dari sini.

Satu hal yang menarik perhatian saya berulang kali adalah definisi fungsi untuk masalah tersebut. Menurut definisi dan konteks saya percaya diasumsikan bahwa x kecil selalu merupakan fungsi waktu dan posisi awal X, seperti dalam persamaan (2.20). Juga, saya tidak sepenuhnya mengerti mengapa istilah kedua dari ekspresi terakhir di (2.20) harus dievaluasi pada x.

Menggunakan 2.24, \ begin {array} {l} \ frac {d} {{dt}} \ int_ {CV} ^ {} {\ phi d {\ bf {x}} =} \ int_ {CV} ^ {} {\ kiri ({\ frac {{d \ phi}} {{dt}} + \ phi \ frac {{\ partial {v_i}}} {{\ partial {x_i}}}} \ kanan) d {\ bf {x} }} \\ = \ int_ {CV} ^ {} {\ frac {{d \ phi}} {{dt}} d {\ bf {x}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ phi \ frac {{\ partial {v_i}}} {{\ partial {x_i}}} d {\ bf {x}}} \ end {array} Dari 2.20, $$ = \ int_ {CV} ^ {} {\ kiri ({\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ partial {x_i}}} \ frac {{\ partial {x_i}}} {{\ partial t}} + \ frac {{\ partial \ phi}} {{\ partial t}}} \ kanan) d {\ bf {x}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ phi \ frac {{ \ partial {v_i}}} {{\ partial {x_i}}} d {\ bf {x}}} $$ $$ \ begin {array} {l} = \ int_ {CV} ^ {} {\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ partial {x_i}}} \ frac {{\ partial {x_i}}} {{\ parsial t}} d {\ bf {x}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ parsial t}} d {\ bf {x} }} + \ int_ {CV} ^ {} {\ phi \ frac {{\ partial {v_i}}} {{\ partial {x_i}}} d {\ bf {x}}} \\ = \ int_ {CV } ^ {} {\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ partial {x_i}}} {v_i} d {\ bf {x}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ phi \ frac {{\ partial {v_i}}} {{\ partial {x_i}}} d {\ bf {x}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ parsial t}} d {\ bf {x}}} \\ = \ int_ {CV} ^ {} {\ kiri ({\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ partial {x_i}}} {v_i } + \ phi \ frac {{\ partial {v_i}}} {{\ partial {x_i}}}} \ kanan) d {\ bf {x}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ frac { {\ partial \ phi}} {{\ partial t}} d {\ bf {x}}} \ end {array} $$ Dari diferensiasi multiplikasi, $$ = \ int_ {CV} ^ {} {\ frac {\ partial} {{\ partial {x_i}}} \ kiri ({\ phi {v_i}} \ kanan) d {\ bf {x}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ partial t}} d {\ bf {x}}} $$ Akhirnya, gunakan teorema divergensi, $$ = \ int_ {CS} ^ {} {\ phi {v_i} d {\ bf {s}}} + \ int_ {CV} ^ {} {\ frac {{\ partial \ phi}} {{\ partial t}} d {\ bf {x}}} $$