27

Katakanlah saya punya sinus 1kHz, jadi tidak ada harmonik yang lebih tinggi, maka saya perlu sampel setidaknya pada 2kHz untuk dapat merekonstruksi itu.
Tetapi jika saya sampel pada 2kHz, tetapi semua sampel saya berada di persimpangan nol, maka sinyal sampel saya tidak menunjukkan sinus sama sekali, bukan EKG pasien yang sudah meninggal. Bagaimana itu bisa dijelaskan?

Ini juga dapat diperluas ke frekuensi pengambilan sampel yang lebih tinggi. Jika saya sampel bentuk gelombang yang lebih kompleks pada 10kHz, saya setidaknya harus mendapatkan 5 harmonik pertama, tetapi jika bentuk gelombang sedemikian rupa sehingga sampel setiap kali nol, sekali lagi kita tidak mendapatkan apa-apa. Ini tidak terlalu mengada-ada, sangat mungkin untuk gelombang persegi panjang dengan siklus kerja <10%.

Jadi mengapa kriteria Nyquist-Shannon tampaknya tidak berlaku di sini?

analysis Federico Russo
sumber

7

Kriteria Nyquist adalah minimum. Masalah lain, seperti aliasing, mungkin memerlukan pengambilan sampel yang lebih tinggi, atau tindakan pencegahan lainnya.

drxzcl

Wow! 3 jawaban untuk 6 tampilan!

Federico Russo

@FedericoRusso Anda memiliki kecenderungan untuk mengajukan pertanyaan yang baik

m.Alin

1

Singkatnya: Dalam contoh Anda mengambil sampel sinus 1kHz pada 2kHz alias sinyal ke sinyal 0Hz — yang mengakibatkan pasien meninggal!

Phil

26

Anda sebenarnya membutuhkan laju sampling lebih dari 2 kHz untuk sampel gelombang sinus 1 kHz dengan benar. Ini bukan

f_{N} < f_{S} / 2

$f_N < f_S / 2$

f_{N} \leq f_{S} / 2

$f_N \le f_S / 2$

NB Jika Anda membawa sinyal Anda ke ruang kompleks, di mana sinusoid berbentuk mana t adalah waktu, A adalah amplitudo, f adalah frekuensi, dan θ adalah offset fasa, adalah titik di mana frekuensi "terlipat", yaitu Anda tidak dapat membedakan f dari -f . Peningkatan frekuensi lebih lanjut akan muncul, setelah sampling, agar frekuensi sampling dikurangi dari mereka, dalam kasus sinusoid murni.

v (t) = A e^{j (2 π f t - θ)} = A (\cos (2 π f t - θ) + j \sin (2 π f t - θ))

$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$

f_{N} = f_{S} / 2

$f_N = f_S / 2$

Non-Sinusoid

Untuk kasus gelombang persegi pada 1 kHz dengan siklus kerja kurang dari atau sama dengan 10% yang diambil sampel pada 10 kHz, Anda salah memahami input.

Pertama, Anda perlu menguraikan bentuk gelombang Anda menjadi seri Fourier untuk mencari tahu apa amplitudo komponen harmonik. Anda mungkin akan terkejut bahwa harmonik untuk sinyal ini cukup besar melewati 5 kHz! (Aturan praktis harmonik ketiga 1/3 sekuat fundamental, dan 5 harmonis 1/5 fundamental, hanya berlaku untuk 50% siklus gelombang siklus persegi .)

Aturan praktis untuk sinyal komunikasi adalah bahwa bandwidth kompleks Anda sama dengan kebalikan dari waktu pulsa terkecil Anda, jadi dalam hal ini Anda mencari minimum bandwidth 10 kHz (-5 kHz hingga 5 kHz) untuk 10% siklus kerja dengan fundamental pada 1 kHz (yaitu 10 kbps).

Jadi apa yang akan merusak Anda adalah bahwa harmonik tingkat tinggi yang kuat ini akan melipat dan mengganggu (secara konstruktif atau destruktif) dengan harmonik in-band Anda, jadi sangat diharapkan bahwa Anda mungkin tidak mendapatkan sampel yang baik karena begitu banyak informasi di luar Nyquist pita.

Mike DeSimone
sumber

1

Itu tidak menjelaskan contoh kedua, di mana frekuensi sampel adalah 10 kali frekuensi groung

Federico Russo

Ya, merindukan itu. Ditambahkan ke jawaban saya. Hal yang menyenangkan untuk dipikirkan: Kawat kategori 5e, yang dapat mengangkut data Gigabit Ethernet, memiliki bandwidth 100 MHz yang ditentukan. Cat 6 pergi ke 250 MHz dan cat 7 pergi ke 750 MHz.

Mike DeSimone

Jadi itu berarti bahwa untuk amplitudo sinyal fase dan fase untuk setiap harmonik memiliki pemetaan ke harmonik cermin dengan fase yang persis sama, tetapi amplitudo terbalik?

Federico Russo

@Federico: "lipat" dalam hal ini berarti dicerminkan tentang frekuensi Nyquist. Jadi jika Anda mengambil sampel pada 10 kHz, dan Anda mencoba untuk mengambil sampel sinus 11 kHz, Anda akan mendapatkan output 9 kHz. Cobalah untuk mengambil sampel 13 kHz dan Anda akan mendapatkan 7 kHz.

endolith

1

Untuk komentar terakhir, contohnya adalah ketika Anda melihat mobil-mobil di TV: ketika kecepatan rotasi mendekati beberapa framerate, roda tampaknya melambat sampai diam, dan kemudian mulai berputar dalam arti yang berlawanan.

clabacchio

8

Mike menjelaskannya dengan baik: ini adalah aliasing yang membuat harmonik menghilang dalam sinyal sampel, lipat frekuensi yang lebih tinggi dari ke . Ketika bekerja dengan sinyal sampel, Anda harus selalu memastikan untuk menyaring apa pun di atas . $F_S + f$ $F_S - f$
$F_S / 2$

masukkan deskripsi gambar di sini

Dalam spektrum ini bagian biru adalah spektrum sinyal pita dasar Anda dari hingga . (Lihat pertanyaan ini tentang frekuensi negatif). Perhatikan bahwa spektrum ini diulang sekitar setiap kelipatan . Dalam contoh ini tidak ada masalah; sinyal asli dipisahkan dari gambar, dan dapat direkonstruksi. $-F_S / 2$ $F_S / 2$
$F_S$

masukkan deskripsi gambar di sini

Dalam contoh ini (hanya frekuensi positif yang ditampilkan) kita dapat melihat bahwa sinyal pita dasar meluas melampaui . Karena alias lipat tumpang tindih dengan sinyal dasar kami, dan tidak mungkin kami bisa menyaringnya lagi. Itu sebabnya Anda memerlukan filter low-pass (tajam). $F_S / 2$

Sekarang Anda dapat mengatakan bahwa pulsa akan terlihat sangat berbeda setelah pemfilteran low-pass, dan itu benar, tetapi jika Anda tidak ingin Anda memilih frekuensi sampel terlalu rendah. (Untuk sinyal terputus-putus seperti pulsa, yang memiliki spektrum tak terbatas, Anda akan selalu mengalami distorsi, apa pun Anda ). Ingatlah bahwa Anda dapat merekonstruksi sinyal hanya untuk frekuensi yang lebih kecil dari . $F_S$ $F_S / 2$

stevenvh
sumber

1

+1 untuk gambar. Buat lebih jelas.

Federico Russo

Gambar Yay! Saya harus menggunakannya lebih sering, tetapi saya terlalu senang dengan seni ASCII. Bagaimanapun, semua yang tumpang tindih pada gambar 2 dapat digunakan jika frekuensi yang Anda gunakan benar-benar dalam bagian yang tidak tumpang tindih, tetapi ini tidak umum di luar modulasi sigma-delta.

Mike DeSimone

Dalam beberapa kasus, mungkin tidak apa-apa untuk membiarkan masuk ke hal-hal pengambilan sampel yang di atas Fs / 2, jika seseorang akan, setelah pengambilan sampel, menghapus apa pun yang ada pada frekuensi alias. Sebagai contoh, jika seseorang ingin mengakhiri dengan audio sampel pada 8.000Hz tetapi tidak menyaring hal-hal di bawah 3.500, mungkin sulit untuk membuat filter yang tajam menggunakan sirkuit analog. Di sisi lain, jika seseorang memulai dengan sampling pada 16,000Hz dan secara digital menyaring hal-hal di atas 4,000Hz, orang hanya akan membutuhkan filter analog yang melemahkan hal-hal di atas 12KHz sambil menjaga hal-hal di bawah 4KHz. Apa pun antara 4-12KHz akan alias ke 4-8KHz.

supercat

@supercat - Filter anti-alias Anda harus selalu analog. Saya setuju dengan poin Anda tentang filter analog, tetapi angka yang Anda gunakan salah. 4-12kHz alias akan menjadi 4-12kHz, bukan 8kHz. (Anda dapat dengan mudah melihat ini jika Anda memeriksa bandwidth, yang seharusnya sama.)

stevenvh

@stevenvh: Biasanya, hasil pengambilan sampel dijelaskan hanya dalam hal frekuensi di Nyquist atau di bawah, saya pikir, meskipun setiap frekuensi di bawah Nyquist akan alias satu antara Nyquist dan laju sampling. Maksud saya adalah jika seseorang berencana untuk memfilter digital apa pun di atas 4KHz, orang tidak perlu khawatir bahwa frekuensi antara 8KHz-12KHz akan dilipat kembali ke kisaran 4KHz-8KHz; karena mereka akan disaring pula. Satu hampir selalu membutuhkan semacam filter anti-aliasing analog, tetapi dalam banyak kasus oversampling dapat mengurangi persyaratan. Ini ...

supercat

1

Teorema itu ok. Sinyal Anda TIDAK boleh mengandung frekuensi yang sama atau lebih tinggi dari setengah laju sampling, sesuai dengan Nyquist. Shannon mungkin mengizinkannya, tetapi teorema versinya, yang mungkin menyebabkan ambiguitas pada frekuensi kritis.

Sunting (Re: downvoting untuk jawaban singkat?): Saya tidak melihat perlunya menjelaskan metode pengambilan sampel itu sendiri. Pertanyaannya adalah tentang kebingungan "apakah frekuensi kritis dimasukkan ke dalam pita atau bukan", dan jika kata-kata teorema oleh Shannon mengandung kesalahan. Sebenarnya tidak (seperti yang saya lihat di dunia wiki). Atau kemungkinan besar penulis wiki mengutip kata-katanya dengan tidak tepat. Dan omong-omong, ada 4 penulis independen di abad ke-20 dari teorema ini, sehingga kebingungan siapa pun yang mempelajari ide dari sumber acak dapat menjadi lebih buruk.

sumber

Jika input pengambilan sampel Anda tidak memiliki semacam filter low pass, tidak ada yang harus difilter; semua harmonisa harus dilipat dan berpotensi saling mengganggu. Beberapa radio modern menggunakan pelipat frekuensi Nyquist sebagai band shifter dengan menggunakan ADC input-pita lebar dengan filter bandpass di ujung depan.

Mike DeSimone

@Mike DeSimone: Terima kasih telah menjelaskan efek aliasing, tetapi sekali lagi, pertanyaannya bukan tentang "end-of-band", bukan "in-band" atau "out of band" rekonstruksi.

0

Jika Anda memiliki 2 sampel pada gelombang sinus , dan mereka terjadi pada penyilangan nol, pada dan maka Anda dapat menentukan frekuensi sinyal dengan waktu antara dua sampel . $N Hz$ $\frac{1}{2}N$ $1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

Di mana adalah frekuensi dan adalah waktu antara dua sampel zero-crossing. $f$ $t$

Tetapi menurut Wikipedia:

Pada intinya, teorema menunjukkan bahwa sinyal analog terbatas pita yang telah disampel dapat direkonstruksi dengan sempurna dari urutan sampel tanpa batas jika laju pengambilan sampel melebihi 2B sampel per detik, di mana B adalah frekuensi tertinggi dalam sinyal asli.

Jadi frekuensi sampling dua kali frekuensinya salah - seharusnya hanya lebih dari dua kali frekuensinya. Dengan cara itu sampel berturut-turut menangkap bagian gelombang yang sedikit berbeda.

Majenko
sumber

Seperti saya juga katakan kepada Mike: itu tidak menjelaskan contoh kedua, di mana frekuensi sampel adalah 10 kali frekuensi groung

Federico Russo

Gelombang persegi panjang memiliki beberapa harmonisa yang sangat tinggi. Nyquist menyatakan frekuensi 2x lebih tinggi dari frekuensi tertinggi . Frekuensi tertinggi bisa ratusan, jika tidak ribuan kali lebih tinggi dari siklus tugas 50%.

Majenko

Ini juga untuk sinyal kontinu - gelombang persegi panjang PWM pada tugas 10% tidak kontinu. 50% PWM dapat dikatakan sebagai sinyal kontinu untuk frekuensi terendah (siklus kerja), tetapi tidak untuk frekuensi yang lebih tinggi.

Majenko

@Matt - setiap sinyal berintu untuk frekuensi terendah, karena semua frekuensi penyusun adalah sinus, menurut Fourier. Sangat mungkin untuk membuat denyut nadi Federico terus menerus, dan masih memiliki hasil sampel yang sama.

stevenvh

0

Ketika pengambilan sampel pada laju F tertentu, setiap komponen frekuensi f akan menghasilkan alias dari bentuk kF + f dan kF- f untuk semua nilai integer k. Dalam penggunaan umum, tidak ada komponen frekuensi di atas F / 2 ketika sinyal disampel, sehingga satu-satunya komponen dalam kisaran 0 hingga F / 2 adalah komponen yang ada dalam sinyal asli. Setelah pengambilan sampel, akan ada komponen sinyal di atas F / 2 (dihasilkan sebagai alias dari yang di bawah). Yang paling merepotkan dari semua ini untuk frekuensi f dalam sinyal asli adalah frekuensi F- f .

Perhatikan bahwa sebagai frekuensi fmendekati F / 2 dari bawah, frekuensi alias pertama akan mendekati F / 2 dari atas. Jika input berisi sinyal pada frekuensi F / 2-0.01Hz, akan ada alias pada frekuensi F / 2 + 0.01Hz - hanya 0,02Hz di atasnya. Memisahkan sinyal asli dan alias akan dimungkinkan secara teoritis, tetapi dalam praktiknya sulit. Bentuk gelombang sampel akan muncul sebagai jumlah dari dua gelombang dengan kekuatan yang sama dengan frekuensi yang hampir sama. Dengan demikian, amplitudonya akan tampak berubah dengan fase relatif dari gelombang frekuensi tinggi. Dalam kasus di mana frekuensi input tepat F / 2, frekuensi alias juga akan persis F / 2. Karena tidak akan ada pemisahan frekuensi sama sekali antara yang asli dan alias, pemisahan tidak akan mungkin. Hubungan fase antara sinyal asli dan alias akan menentukan amplitudo sinyal yang dihasilkan.

supercat
sumber

Bingung oleh frekuensi Nyquist

Jawaban:

Non-Sinusoid