Mengapa root mean square digunakan saat menghitung daya rata-rata, dan bukan hanya rata-rata tegangan / arus?

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ mana adalah arus efektif. Agar daya menjadi rata-rata, harus arus rata-rata, jadi saya menduga bahwa arus efektif adalah arus rata-rata.$I_{\text{eff}}$$I$

Dalam hal ini, mengapa tidak hanya I eff = $I_{\text{eff}}$

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

Sebaliknya itu didefinisikan seperti ini:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

Jadi, menggunakan dua ekspresi ini untuk menghitung hasil dalam jawaban yang berbeda.$P$

Kenapa begitu? Tidak masuk akal bagi saya. Saya hanya bisa menebak bahwa saya salah mengartikan arus efektif adalah arus rata-rata. Namun, jika ini tidak terjadi, saya tidak melihat bagaimana dapat menjadi kekuatan rata-rata ketika bukan arus rata-rata.I $P$$I_{\text{eff}}$

Ambil contoh sederhana di mana jumlah itu sepele. Saya memiliki voltase yang menyala 50% dari waktu dan mematikan 50% dari waktu. Ini 10V saat diaktifkan. Tegangan rata-rata adalah 5V. Jika saya menghubungkan resistor 1 ohm melintanginya, itu akan menghilang 100W saat aktif dan 0W saat dimatikan. Kekuatan rata-rata adalah 50W.

Sekarang biarkan voltase menyala sepanjang waktu tetapi buatlah 5V. Tegangan rata-rata masih 5V, tetapi daya rata-rata hanya 25W. Ups.

Atau seandainya saya memiliki tegangan hanya pada 10% dari waktu, tetapi itu adalah 50V. Tegangan rata-rata adalah 5V lagi, tetapi daya adalah 2500W saat aktif, dan 0W saat mati, jadi rata-rata 250W.

---

Pada kenyataannya untuk menghitung daya secara umum Anda harus mengintegrasikan (tegangan sesaat) * (arus sesaat) selama periode bentuk gelombang untuk mendapatkan rata-rata (atau dari 0 hingga beberapa waktu t seperti pada contoh Anda untuk menemukan daya pada beberapa interval) .

Jika (dan itu besar jika) bebannya adalah resistor tetap R Anda dapat mengatakan bahwa v = i * R, jadi daya sesaat adalah i ^ 2 * R dan kemudian Anda dapat mengintegrasikan i ^ 2 selama periode tersebut untuk mendapatkan " RMS saat ini ", dan kalikan dengan R nanti (karena sudah diperbaiki tidak masuk ke integral).

---

RMS saat ini tidak terlalu berguna jika beban adalah sesuatu yang nonlinear seperti dioda. Ini dapat berguna dalam menganalisis kerugian dalam sesuatu seperti kapasitor dengan ESR yang diberikan. Kerugian (dan efek pemanasan yang dihasilkan yang mempersingkat masa pakai kapasitor) akan sebanding dengan arus RMS, bukan rata-rata.

Agar daya menjadi rata-rata saya harus arus rata-rata, jadi saya menduga bahwa arus efektif adalah arus rata-rata.

Singkatnya, tegangan rata-rata x arus rata-rata hanya sama dengan daya rata-rata ketika tegangan dan arus adalah jumlah DC. Pikirkan contoh berikut: -

Jika Anda menerapkan 230 V AC dari stopkontak listrik ke elemen pemanas, itu akan menjadi hangat atau bahkan panas. Ini membutuhkan kekuatan yang bisa membuat Anda ditagih. 230 V AC adalah gelombang sinus dan semua gelombang sinus memiliki nilai rata-rata nol. Arus yang dihasilkan mengalir melalui elemen pemanas juga merupakan gelombang sinus dengan nilai rata-rata nol.

Jadi, menggunakan tegangan rata-rata x arus rata-rata menghasilkan daya rata-rata nol dan jelas itu salah. Ini adalah tegangan RMS x arus RMS yang akan memberikan jawaban yang bermakna (terlepas dari apakah itu DC atau AC).

Anda harus kembali ke dasar dan bertanya pada diri sendiri apa daya - itu adalah tegangan x saat ini dan ini adalah nilai instan dikalikan bersama. Ini menghasilkan bentuk gelombang daya seperti ini: -

Karena tindakan penggandaan, gelombang daya sekarang memiliki nilai rata-rata yang tidak nol . Mengambil langkah lebih lanjut, jika beban resistor yang 1 ohm kemudian, amplitudo saat ini akan sama dengan amplitudo tegangan yang diberikan sehingga, kekuasaan menjadi rata-rata .$v^2$

Ini menuntun kita untuk mengatakan bahwa daya adalah the mean of the square of voltage(atau arus) dan, mengingat bahwa kita telah memilih 1 ohm dalam contoh ini, kita juga dapat mengatakan bahwa tegangan efektif yang menghasilkan daya ini adalah square root of the mean of the voltage squarednilai "RMS".

Jadi, untuk gelombang sinus dari amplitudo puncak , bagian atas gelombang listrik v 2 p k dan, karena kekuatan gelombang yang dihasilkan oleh gelombang sinus kuadrat juga gelombang sinus (dua kali frekuensi), rata-rata Nilai (rata-rata) adalah: -$v_{pk}$$v^2_{pk}$

. Kemudian mengambil akar kuadrat untuk mendapatkanteganganefektif yangkita dapatkan$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ atauvp$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

Akibatnya, nilai RMS dari tegangan AC (atau arus) adalah nilai yang setara dari tegangan DC (atau arus) yang menghasilkan efek pemanasan yang sama dalam beban resistif.

Jadi tidak, tegangan rata-rata atau arus rata-rata tidak relevan tetapi daya rata-rata adalah raja.

Iblis ada dalam rincian ketika Anda menghitung matematika.

$P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$ Jika properti ini benar, maka kuadrat bisa ditarik keluar dari integral dan dibatalkan dengan akar kuadrat.

Selain itu, ada masalah $\frac{1}{T}$ di bawah akar kuadrat yang juga akan menyebabkan masalah.

Singkatnya, itu karena matematika tidak berjalan seperti itu.

Kekuatan rata-rata hanya merupakan bagian integral dari pekerjaan, selama beberapa periode waktu yang terbatas, dibagi dengan periode waktu itu. Untuk kasus Anda, setiap instan pekerjaan adalah:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Jadi, Anda mengintegrasikannya untuk mendapatkan kerja total untuk beberapa periode terbatas dan kemudian, untuk mengubahnya menjadi nilai daya rata-rata, Anda hanya membaginya dengan periode terbatas. Atau:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Jika $R_t$ adalah konstan dari waktu ke waktu, maka:

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Tetapi jika Anda ingin sekarang membangun semacam arus efektif fiksi yang sesuai$R\cdot I_{eff}^2$ model, maka dengan pemeriksaan sederhana dari persamaan di atas itu harus menjadi kasus bahwa:

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

Itu hanya substitusi yang setara, bukan?

Dan jelas:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

Jika Anda memulai sesuatu maka itu $t_0=0$ dan mengatur $t_1=t$maka Anda mendapatkan persamaan Anda sendiri. Sangat mudah, sungguh.

Bayangkan dua arus mengalir secara bersamaan melalui beban Anda:

• Arus DC 1A
• Arus AC dengan amplitudo 1A

Total arus akan terlihat seperti ini:

Sekarang, jika kami menerapkan formula Anda untuk $I_{eff}$, kita akan mendapatkan 1A, seolah-olah komponen AC menghasilkan daya nol. Saya harap Anda setuju bahwa ini bahkan lebih tidak masuk akal daripada formula aslinya.

Mempertimbangkan $R=1\Omega$dan dan arus 1A untuk satu detik dan 10A untuk detik lainnya. Berapa daya rata-rata?

Jelas sekali

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Mari kita tulis ulang ini:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

Di sisi lain, arus rata-rata adalah 5.5A, yang memberikan "daya rata-rata" 30.25W.

Intinya adalah, rumus daya berisi kuadrat arus, sehingga arus efektif lebih tinggi dari rata-rata (nilai absolut) arus.

Mari saya letakkan ini dalam istilah yang lebih umum: Kekuatan instan P (t) yang dihamburkan pada suatu beban adalah suatu produk (dalam pengertian matematika sebagai perkalian) dari V (t) dan I (t). Atau saya (t) * I (t) / R dalam hal ini. Karenanya, daya rata-rata adalah rata-rata [I (t) * I (t)] / R. Paradoksnya ada dalam teorema matematika terkenal bahwa rata - rata suatu produk dari fungsi variabel tidak sama dengan produk dari rata-rata mereka. ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

secara setara,

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Untuk mengilustrasikan masalah kalkulus dasar ini hingga beberapa ekstrem, anggaplah Anda memiliki beban resistor 1 Ohm, dan voltase berdenyut 10V untuk 10% siklus kerja, 10% naik, 90% tanpa tegangan. Daya pemborosan nyata adalah 10V * 10A = 100W untuk 10% dari siklus tugas, dan nol untuk sisa siklus tugas. Jadi daya rata-rata yang dihamburkan oleh resistor ini adalah 10W .

Sekarang, jika Anda mengambil (atau bahkan mengukur!) Rata-rata secara terpisah menggunakan meter terpisah, rata-rata [V] dari gelombang berdenyut ini akan muncul sebagai 1V, dan rata-rata saya akan datang sebagai 1A. Mengalikan hasil yang diukur seseorang mungkin sampai pada kesimpulan bahwa daya yang dikonsumsi oleh "perangkat" ini hanya 1W, yang akan benar-benar salah dengan faktor 10 !!!.

Ini adalah kesalahan khas dalam banyak disiplin ilmu dan aplikasi. Sebagai contoh kesalahan ini adalah dalam dasar banyak klaim palsu dari beberapa pemanas air ajaib yang menghasilkan lebih banyak output daripada "listrik yang dikonsumsi" yang biasanya dijelaskan oleh "fusi dingin", atau BS lainnya. Bahkan ada paten yang diberikan pada "pemanas berdenyut" ini.