Tiang dan Bode Plot

17

Saya memiliki tiga pertanyaan yang telah lama mengganggu saya:

  1. Kami mengatakan bahwa, dalam plot Bode, ada penurunan keuntungan sebesar 20 dB per dekade setiap kali ditemukan kutub. Tapi bukankah kutub didefinisikan sebagai nilai s yang membuat fungsi transfer tak terhingga? Jadi mengapa keuntungan tidak naik pada titik ini alih-alih turun?

  2. Secara fisik apa yang terjadi ketika kita memberi makan sistem dengan frekuensi kutub?

  3. Juga, pertimbangkan fungsi transfer 1/(s+2) . Sistem memiliki kutub pada s=(2+j0) . Yaitu, untuk kutub, σ=2 dan ω=0 . Tetapi ketika kita menerapkan sinyal sinusoidal ke inputnya dan menggambar plot Bode, mengapa kita mengatakan bahwa ada kutub pada 2 rad / detik (meskipun, untuk kutub, ω=0 dan σ=2 )?

Vishnudas Thaniel S
sumber
1
Apakah Anda tahu arti "frekuensi kutub"? Ini adalah frekuensi yang identik dengan panjang vektor dari titik asal ke lokasi kutub (aturan Pythagoras). Dalam kasus kutub nyata frekuensi kutub identik dengan bagian nyata negatif (-sigma). Oleh karena itu, tidak mungkin untuk membangkitkan sirkuit apa pun dengan frekuensi kutubnya. Ini hanya alat buatan - tetapi sangat membantu.
LvW
@ LVW: Frekuensi itu biasanya disebut frekuensi alami . Frekuensi kutub ditentukan oleh bagian imajiner kutub.
Matt L.
Matt L., maaf tapi saya tidak setuju. Saya akan mencari beberapa referensi.
LvW
Matt L., saya khawatir, ada perbedaan dalam terminologi antara Jerman dan AS. Saya pikir, saya harus setuju bahwa di negara Anda parameter yang kita sebut "frekuensi kutub" dikenal sebagai "frekuensi alami". Maaf.
LvW
@ Mat L., saya senang untuk memberitahu Anda bahwa saya tidak sepenuhnya "keluar dari jalur": Ada buku tentang teknik filter "Analog dan Dig. Filter" (Harry YFLam, Bell Inc.) di mana besarnya lokasi kutub (jarak dari asalnya) juga disebut "frekuensi kutub". Baik untuk diketahui, tetapi kami harus selalu berhati-hati saat menggunakan kata kunci tersebut.
LvW

Jawaban:

10

Bode plot bukan grafik yang memplot fungsi transfer ( ) terhadap s . H ( s ) adalah fungsi yang kompleks dan plot magnitudo-nya sebenarnya mewakili permukaan dalam sistem koordinat Cartesian. Dan permukaan ini akan memiliki puncak hingga tak terhingga di setiap kutub seperti yang ditunjukkan pada gambar:H(s)sH(s)

enter image description here

Bode plot diperoleh dengan pertama-tama mensubstitusi dalam H ( s ) dan kemudian merepresentasikannya dalam bentuk kutub H ( j ω ) = | H ( ω ) | ϕ ( ω ) . H ( ω ) memberikan plot pertanda magnitudo dan ϕ ( ω ) memberikan plot pertanda fase.s=jωH(s)H(jω)=|H(ω)|ϕ(ω)H(ω)ϕ(ω)

Bode magnitude plot adalah perkiraan asimptotik dari besarnya fungsi transfer ( ) vs logaritma frekuensi dalam radian / detik ( log 10|H(ω)| ) dengan | H ( s ) | (dinyatakan dalam dB) pada sumbu y dan log 10 | ω | pada sumbu x.log10|ω||H(s)|log10|ω|

Datang ke pertanyaan:

  1. Di kutub, permukaan kompleks puncak hingga tak terbatas bukan | H ( ω ) | .|H(s)||H(ω)|

  2. Ketika suatu sistem diumpankan dengan frekuensi kutub, output sponsor akan memiliki frekuensi yang sama tetapi amplitudo dan fase akan berubah. Nilai dapat ditentukan dengan mengganti frekuensi dalam radian / detik dalam dan ϕ ( ω ) masing-masing.|H(ω)|ϕ(ω)

  3. Tiang pada -2 rad / detik dan 2 rad / detik memiliki efek yang sama pada . Dan minat kami adalah pada respons frekuensi. Jadi kita hanya perlu bagian positif darinya.|H(ω)|

nidhin
sumber
Jawaban yang bagus dan saya suka Anda meluangkan waktu untuk memformatnya dengan baik! +1
Null
Saya tidak bisa mengikuti. Pertama, H(s)itu sendiri tidak mewakili permukaan seperti yang Anda tunjukkan; sebaliknya, ia memiliki nilai kompleks di setiap (kompleks) s. Apa yang Anda tampilkan mungkin nilai absolut (besarnya) |H(s)|, atau mungkin bagian sebenarnya real(H(s)),. Adapun apa yang Anda katakan dalam paragraf pertama di bawah gambar: Jika real(H(s))dan / atau imag(H(s))pergi ke tak terhingga, maka besarnya |H(s)|,, juga pergi ke tak terhingga. Bagaimana tidak?
Christopher Creutzig
@ChristopherCreutzig Grafik yang ditampilkan adalah plot 3D. bagian nyata 's' pada sumbu x, bagian imajiner 's' pada sumbu y dan besarnya H (s) pada sumbu z. tetapi saya dapat melihat bahwa ada beberapa kebingungan. Biarkan saya mengedit.
nidhin
Saya mendapat bagian itu. Keluhan saya adalah bahwa grafik bukan dari H (s), karena tidak mungkin untuk memplot fungsi kompleks dari parameter kompleks dengan cara ini (bila menggunakan kurang dari empat dimensi). Permukaan yang ditunjukkan adalah yang dari |H(s)|dan tidak boleh disebut permukaan (plot) dari H.
Christopher Creutzig
@ Christopher sekarang aku mengerti. Saya menggunakan kata-kata dengan cara yang cukup membingungkan. Berharap saya menjelaskan kali ini.
nidhin
7

Ketika mencoba memahami fungsi transfer, saya pikir "analogi lembaran karet" sangat berguna. Bayangkan selembar karet elastis yang menutupi bidang kompleks , dan bayangkan bahwa pada setiap nol fungsi pemindahan, selembar itu ditempelkan ke tanah, dan pada setiap kutub ada kutub tipis literal yang mendorong lembaran karet itu ke atas. Besarnya respon frekuensi tinggi dari karet lembaran sepanjang j ω sumbu.sjω

  1. Dari analogi di atas, tentu saja gain naik ke kutub. Tetapi menjauh dari kutub, kontribusi kutub membuat fungsi transfer turun (misalnya pergi ke nol berikutnya). Bayangkan sistem sederhana yang Anda berikan sebagai contoh dalam pertanyaan ketiga Anda. Ia memiliki kutub bernilai nyata pada , dan - karena kutub ini - ia juga memiliki nol pada s 0 = . Jadi menjauh dari kutub dengan frekuensi yang meningkat, fungsi transfer turun karena lembaran karet ditempelkan ke tanah tanpa batas. Secara matematis, ini juga mudah dilihat: H ( s ) = 1s=2s0= Dalam desibel kita mendapatkan 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(ω

    H(s)=1s+2|H(jω)|2=1ω2+4=141(ω2)2+1
    (1)10log10|H(jω)|2=10log10(4)10log10[(ω2)2+1]
    ω2
    10log10(ω2)2=20log10(ω/2)
    -20dB
  2. H(s)=1s+2 dengan sinyal input x(t)=e-2t, maka hasilnya akan menjadi y(t)=te-2t, dimana faktornya tsesuai dengan "amplifikasi" sistem dari sinyal input. Namun, faktor eksponensial akan membuat pendekatan sinyal0 untuk nilai besar t.

  3. Singkatnya, kita tidak mengatakan bahwa ada tiang di 2rad / s, karena tidak ada. Apa yang memang terjadi adalah bahwa frekuensi cut-off ditentukan oleh bagian nyata dari kutub, yaitu titik awal garis dengan kemiringan negatif dalam plot Bode ditentukan oleh nilai2. Ini adalah contoh yang saya berikan pada poin 1 di atas, di mana perkiraan garis lurus dengan-20 dB per dekade berlaku untuk ω2. Nilai2 tidak ditentukan oleh frekuensi kutub (yang nol) tetapi oleh bagian nyata kutub.

Matt L.
sumber
Saya pernah mendengar analogi itu sebelumnya dan saya pikir itu yang terbaik untuk memahami konsep itu. Dan terima kasih telah meluangkan waktu untuk memformat jawaban Anda dengan baik! +1
Null
6

enter image description here

Grafik menunjukkan perbedaan antara frekuensi alami di kompleks s-plane (infinite) dan puncak magnitudo yang sesuai di sepanjang jω sumbu yang dapat diamati selama pengukuran: Grafik milik frekuensi alami ωhal=1000 rad / s dan faktor kualitas tiang Qhal=1.3(Yang merupakan ukuran dari puncak kenaikan yang diamati). Plot ini memvisualisasikan karakteristik Chebyshev urutan ke-2 dengan riak 3 dB di passband.

LvW
sumber
0

"S" dalam persamaan Anda adalah konstanta dalam fungsi exp (s * t). Jadi, ketika s adalah bilangan real, fungsi waktu ini adalah fungsi yang tumbuh atau turun secara eksponensial. Contoh Anda dengan s = -2 adalah fungsi yang jatuh secara eksponensial. Untuk setiap "nomor" kutub, output akan tumbuh ketika Anda menerapkan input pada "angka" itu. Jika Anda menerapkan sinyal jatuh secara eksponensial ke sirkuit contoh Anda, sinyal output akan pergi hingga tak terbatas. (Namun, perhatikan bahwa tidak mungkin untuk menghasilkan sinyal yang selalu jatuh secara eksponensial, karena sinyal seperti itu sangat besar pada waktu di masa lalu). Ketika Anda berbicara tentang frekuensi seperti 2 radian / detik, Anda berbicara tentang kutub pada j * 2, bukan 2, sehingga sinyal-sinyal tersebut sinusoidal. Dimungkinkan untuk menghasilkan sinyal yang merupakan gelombang sinus (setidaknya untuk waktu yang cukup lama).

user69795
sumber
Since u have not answered his question this should be a comment
Pedro Quadros