Perbedaan antara respons alami dan respons terpaksa?

Referensi

Posting kedua di EdaBoard.com

Respon waktu dari suatu sistem adalah evolusi waktu dari variabel. Di sirkuit, ini akan menjadi bentuk gelombang tegangan dan arus versus waktu.

Respons alami adalah respons sistem terhadap kondisi awal dengan semua kekuatan eksternal diatur ke nol. Dalam rangkaian, ini akan menjadi respons sirkuit dengan kondisi awal (arus awal pada induktor dan tegangan awal pada kapasitor misalnya) dengan semua tegangan independen diatur ke nol volt (korsleting) dan sumber arus diatur ke nol amp (sirkuit terbuka) ). Respons alami dari rangkaian akan ditentukan oleh konstanta waktu dari rangkaian dan pada umumnya akar persamaan karakteristik (kutub).

Respon paksa adalah respons sistem terhadap stimulus eksternal dengan nol kondisi awal. Di sirkuit, ini hanya akan menjadi respons sirkuit terhadap tegangan eksternal dan fungsi pemaksa sumber arus ... lanjutkan membaca

Pertanyaan

1. Bagaimana mungkin ada tanggapan alami? Sesuatu harus dimasukkan untuk membuat output? Cara saya melihatnya seperti memutar saluran air utama dan kemudian menyalakan keran Anda dan mengharapkan air keluar.

2. Bagaimana kita v(t)(dari tautan di atas) dapat dipecahkan jika kita tidak tahu dv(dt)untuk menemukan respons alami?

3. Jika Anda dapat memperluas 2 konsep (respon alami dan respon paksa) dengan menjelaskan perbedaan mereka dalam istilah Layman, itu akan menyenangkan.

1. Diberi persamaan 10dy/dt + 24y = 48berarti rate of change of output + 24 * output = 48. Kondisi awal adalah y(0)=5dan dy/dt=0.
   • Itu berarti bahwa inputnya adalah 48/(24*5)apakah itu asumsi yang benar? Solusi untuk itu adalah 0.4input konstan apa?

Pikirkan tentang sistem mekanis sederhana seperti batang elastis atau balok yang menempel pada pegas melawan gravitasi, di dunia nyata. Setiap kali Anda memberi sistem pulsa (ke blok atau ke bar), mereka akan memulai osilasi dan segera mereka akan berhenti bergerak.

Ada beberapa cara Anda dapat menganalisis sistem seperti ini. Dua cara paling umum adalah:

1. Solusi lengkap = solusi homogen + solusi khusus

2. Respons lengkap = Resopnse alami (input nol) + respons paksa (kondisi nol)

Karena sistemnya sama, keduanya harus menghasilkan persamaan akhir yang sama yang mewakili perilaku yang sama. Tetapi Anda dapat memisahkan mereka untuk lebih memahami apa arti setiap bagian secara fisik (khususnya metode kedua).

Pada metode pertama, Anda lebih memikirkan dari sudut pandang sistem LTI atau persamaan matematika (persamaan diferensial) di mana Anda dapat menemukan solusi homogennya dan kemudian solusi khususnya. Solusi homogen dapat dilihat sebagai tanggapan sementara dari sistem Anda terhadap input tersebut (ditambah kondisi awalnya) dan solusi khusus dapat dilihat sebagai kondisi permanen sistem Anda setelah / dengan input tersebut.

Metode kedua lebih intuitif: respons alami berarti apa respons sistem terhadap kondisi awalnya. Dan respons paksa adalah respons sistem terhadap input yang diberikan tetapi tanpa kondisi awal. Berpikir dalam hal contoh balok atau balok yang saya berikan, Anda dapat membayangkan bahwa pada titik tertentu Anda mendorongnya dengan tangan dan memegangnya di sana. Ini bisa menjadi kondisi awal Anda. Jika Anda membiarkannya pergi, itu akan berosilasi dan kemudian berhenti. Ini adalah respons alami dari sistem Anda terhadap kondisi itu.

Anda juga dapat membiarkannya pergi tetapi masih terus memberikan energi ekstra ke sistem dengan memukulnya berulang kali. Sistem akan memiliki respons alami seperti sebelumnya tetapi juga akan menunjukkan beberapa perilaku ekstra karena hit ekstra Anda. Ketika Anda menemukan respons lengkap sistem Anda dengan metode kedua, Anda dapat melihat dengan jelas apa perilaku alami sistem karena kondisi awal tersebut dan apa respons sistem jika hanya memiliki input (tanpa kondisi awal). Mereka berdua bersama-sama akan mewakili semua perilaku sistem.

Dan perhatikan bahwa respons Nol Keadaan (Paksa respons) juga dapat terdiri dari bagian "alami" dan sebagian "khusus". Itu karena meskipun tanpa kondisi awal, jika Anda memberi input ke sistem, ia akan memiliki respons sementara + respons keadaan permanen.

Contoh respons: bayangkan bahwa persamaan Anda mewakili sirkuit berikut:

Yang mana output Anda (t) adalah arus rangkaian. Dan bayangkan sumber Anda adalah sumber DC +48v. Dengan cara ini, membuat penjumlahan dari tegangan elemen dalam jalur tertutup ini, Anda mendapatkan:

$\epsilon=V_L+V_R$

Kita dapat menulis ulang tegangan induktor dan tegangan resistor dalam hal arus:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Jika kita memiliki sumber daya + 48VDC dan L = 10H dan R = 24Ohms, maka:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

yang merupakan persamaan tepat yang Anda gunakan. Jadi, input input Anda ke sistem (RL circuit) adalah catu daya Anda +48v saja. Jadi input Anda = 48.

Kondisi awal yang Anda miliki adalah y (0) = 5 dan y '(0) = 0. Secara fisik ini menyatakan bahwa pada = 0 saat ini, arus rangkaian saya adalah 5A tetapi tidak bervariasi. Anda mungkin berpikir bahwa sesuatu terjadi sebelumnya di rangkaian yang meninggalkan arus di induktor 5A. Jadi pada saat itu (momen awal) masih ada yang 5A (y (0) = 5) tetapi tidak meningkat atau menurun (y '(0) = 0).

Memecahkannya:

pertama-tama kita menganggap respons alami dalam format:$Ae^{st}$

dan kemudian kita akan menemukan perilaku sistem karena kondisi awalnya, sama seperti jika kita tidak memiliki catu daya ( ) yang merupakan respons Zero-Input:$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Begitu,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Karena kita tahu bahwa saya (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

Perhatikan bahwa sampai sekarang semuanya konsisten. Persamaan terakhir ini mewakili respons sistem tanpa input. Jika saya meletakkan t = 0, saya menemukan i = 5 yang sesuai dengan kondisi awal. Dan jika saya memasukkan saya akan menemukan i = 0 yang juga masuk akal jika saya tidak memiliki sumber.$t=+\infty$

Sekarang kita dapat menemukan solusi khusus untuk persamaan yang akan mewakili keadaan permanen karena keberadaan catu daya (input):

kita asumsikan sekarang bahwa mana adalah nilai konstan yang mewakili output sistem dalam keadaan permanen karena inputnya juga merupakan konstanta. Untuk setiap sistem, format output tergantung pada format input: jika input adalah sinyal sinusoidal, output juga akan menjadi. Dalam hal ini kita hanya memiliki nilai konstan yang membuat segalanya lebih mudah.$i(t)=c$$c$

Begitu,

$\frac{di}{dt}=0$

kemudian,

$48 = 0.10 + 24c$ (menggunakan persamaan diferensial)

$c=2$

$i(\infty)=2$

yang juga masuk akal karena kami memiliki catu daya DC. Jadi setelah respon transien menyalakan power supply DC ON, induktor akan berperilaku seperti kawat dan kita akan memiliki rangkaian resistif dengan R = 24Ohms. Maka kita harus memiliki 2A saat ini karena catu daya memiliki 48V di dalamnya.

Tetapi perhatikan bahwa jika saya hanya menambahkan kedua hasil untuk menemukan respons yang lengkap, kita akan memiliki:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Sekarang saya mengacaukan semuanya dalam keadaan sementara karena jika saya menempatkan t = 0 kita tidak lagi akan menemukan i = 5 seperti sebelumnya. Dan kita harus menemukan i = 5 ketika t = 0 karena itu adalah kondisi awal yang diberikan. Ini karena respons Zero-State memiliki istilah alami yang tidak ada di sana dan juga memiliki format yang sama seperti yang kami temukan sebelumnya. Menambahkannya di sana:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

Konstanta waktu sama sehingga hanya meninggalkan kita B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

Dan kita tahu itu:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$ (t = 0)

Begitu,

$B=-2$

Kemudian, solusi lengkap Anda adalah:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

Anda mungkin memikirkan istilah terakhir ini yang kami temukan sebagai istilah koreksi dari respons paksa agar sesuai dengan kondisi awal. Cara lain untuk menemukannya adalah membayangkan sistem yang sama tetapi tidak tanpa kondisi awal. Kemudian menyelesaikan semua jalan lagi, kita akan memiliki:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Tetapi karena kita sekarang tidak mempertimbangkan kondisi awal (i (0) = 0), maka:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

Dan ketika t = 0:

$A=-2$

jadi respons paksa (Nol-Negara) dari sistem Anda adalah:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

Agak membingungkan tetapi sekarang Anda dapat melihat berbagai hal dari berbagai perspektif.

-Homogen / Solusi khusus:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Istilah pertama (2) adalah solusi khusus dan mewakili kondisi permanen. Sisa dari sisi kanan adalah respon sementara, juga disebut solusi persamaan yang homogen. Beberapa buku menyebut ini juga respons alami dan respons paksa karena bagian pertama adalah bagian yang dipaksakan (karena catu daya) dan bagian kedua adalah bagian yang sementara atau alami (karakteristik sistem). Ini adalah cara tercepat untuk menemukan respons lengkap yang saya kira, karena Anda hanya perlu menemukan kondisi permanen dan respons alami sekali. Tetapi mungkin tidak jelas apa yang mewakili apa.

Input -Nol / keadaan nol:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

perhatikan bahwa ini adalah persamaan yang sama tetapi suku kedua terbagi dua. Sekarang, dua istilah pertama ( ) mewakili respons Zero-State. Dengan kata lain, apa yang akan terjadi pada sistem jika tidak ada arus awal dan Anda menyalakan sumber daya + 48V.$2 - 2e^{-2,4t}$

Bagian kedua ( ) mewakili respons Zero-Input. Ini menunjukkan kepada Anda apa yang akan terjadi pada sistem jika tidak ada input yang diberikan (sumber daya tetap dalam 0v). Ini hanya istilah eksponensial yang akan menjadi nol karena tidak memiliki input.$5e^{-2,4t}$

Beberapa orang juga menyebut format respons Alami / Terpaksa ini. Bagian alami adalah Zero-Input dan bagian Paksa akan menjadi Zero-State, yang omong-omong disusun oleh istilah alami dan istilah tertentu.

Sekali lagi, mereka semua akan memberi Anda hasil yang sama yang mewakili seluruh perilaku situasi termasuk sumber daya dan kondisi awal. Harap perhatikan bahwa dalam beberapa kasus mungkin berguna untuk menggunakan metode kedua. Salah satu contoh yang baik adalah ketika Anda menggunakan konvolusi dan Anda mungkin menemukan respons impuls ke sistem Anda dengan Zero-State. Jadi, melanggar ketentuan-ketentuan itu dapat membantu Anda melihat sesuatu dengan jelas dan juga menggunakan istilah yang memadai untuk berbelit-belit.

Bagaimana mungkin ada tanggapan alami? Sesuatu harus dimasukkan untuk membuat output?

Jika itu membantu, pikirkan respons alami sebagai respons yang dipaksakan terhadap input impuls.

Cara saya melihatnya seperti memutar saluran air utama dan kemudian menyalakan keran Anda dan mengharapkan air keluar.

Bayangkan bahwa saluran air terhubung ke tangki penampungan besar seperti yang digunakan dalam sistem air sumur dan Anda menutup katup ke saluran air.

Tangki telah diisi dengan air dan ditekan ke tekanan utama air sebelum Anda menutup katup. Ini adalah kondisi awal .

Jika Anda membuka keran, air akan keluar . Tangki penampung akan mengalirkan air untuk beberapa periode waktu, karena tangki penampung mengosongkan, dan tekanan pada keran akan turun. Aliran air yang semakin menipis dan tekanan yang jatuh ini akan menjadi respons alami dari sistem.

Sekarang, setelah tangki penampung dikosongkan, Anda dengan cepat membuka katup utama air saat keran masih terbuka.

Sebagian besar aliran air pada awalnya untuk "mengisi" tangki penampung dan, ketika tangki mengisi dan tekanan bertambah, air mengalir dengan laju yang meningkat dari keran sampai tangki penuh dan aliran dan tekanan stabil.

Ini adalah respons paksa terhadap input langkah .

Ini adalah masalah dengan buku teks yang tidak mendefinisikan dengan jelas segala sesuatu sehingga semua orang dapat memahami definisi tersebut. Respons alami benar-benar berbicara tentang sistem yang (pada titik tertentu) telah 'diisi' sedemikian sehingga elemen penyimpanan energi mengandung sejumlah energi awal, yang dapat diterjemahkan ke tegangan awal dalam kapasitor atau arus awal dalam induktor. Ini menghasilkan nilai kondisi awal untuk kapasitor atau induktor. Kemudian, pada waktu t = 0, diasumsikan bahwa sumber magis yang bertanggung jawab untuk memberi energi pada rangkaian, segera dihapus. Jadi, jika sumber magisnya adalah sumber tegangan, maka 'melepasnya' bisa berarti melepasnya secara fisik, atau mematikannya dari sirkuit. Jadi, pada waktu t = 0, respon alami hanya akan perilaku mungkin arus melalui induktor atau kapasitor, atau tegangan melintasi kapasitor atau induktor. Dan sirkuit ini hanya didukung oleh komponen-komponen yang awalnya bermuatan (karena kami menganggap tidak ada input sumber 'eksternal' untuk waktu t = 0 dan seterusnya).

Jadi, untuk respon alami, itu benar-benar kasus di mana ada 'dulu' beberapa input eksternal untuk menghasilkan kondisi awal di induktor dan kapasitor. Sekarang, jika sistem tidak diisi hingga awal, sehingga semua kapasitor dan voltase dan arus induktor nol untuk memulai, maka apa yang akan menjadi respons alami dari sistem? Jawab: nol.

Sekarang, respon paksa adalah respon dari rangkaian (seperti perilaku tegangan atau perilaku arus) untuk kasus di mana kita mengasumsikan bahwa induktor dan kapasitor tidak memiliki energi awal, yang berarti tidak ada tegangan awal atau arus awal dalam komponen ini. . Dan kemudian, tiba-tiba kita menerapkan kekuatan eksternal (sumber) ke input rangkaian. Perilaku arus dan / atau tegangan rangkaian untuk skenario ini hanya diberi nama .... disebut respons paksa. Pada dasarnya, ini merupakan respons terhadap input sumber berdasarkan asumsi bahwa kami memulai dengan kondisi awal energi NOL di induktor dan kapasitor.

Setelah kami menggunakan metode untuk mendapatkan respons alami dan respons yang dipaksakan dengan mudah, kami kemudian menambahkan kedua bagian untuk mendapatkan gambaran lengkap. Semacam prinsip superposisi seperti.

Saya tidak akrab dengan istilah 'respons paksa' dalam konteks ini, tapi begini saja. Banyak sistem dapat dikategorikan sebagai urutan pertama plus waktu mati (FOPDT). 'Respon alami' dari sistem seperti itu terhadap stimulus adalah penundaan awal diikuti oleh pendekatan eksponensial ke kondisi mapan baru.

Pikirkan elemen pemanas yang dipasok dari sumber tegangan variabel. Kondisi awal dimatikan dan pemanas pada suhu kamar. Aktifkan pada katakanlah 10 volt. Untuk waktu yang singkat (waktu mati) suhu pemanas tidak berubah. Suhu kemudian mulai meningkat, cepat pada awalnya, kemudian secara bertahap menetap pada kondisi mapan baru. Jika Anda mengamati dengan cermat waktu yang terlibat, Anda akan memiliki tiga karakteristik alami dari sistem:

1. Keuntungan - dinyatakan dalam derajat / volt. Jika 10 volt menyebabkan kenaikan 20 derajat kemudian naik = 2. Jadi untuk input 20 volt, Anda harus mengharapkan peningkatan 40 derajat dari ambient.
2. Waktu mati - keterlambatan yang diharapkan dalam menanggapi perubahan input. (kelembaman)
3. Waktu konstan atau frekuensi alami - waktu dari awal perubahan ke kondisi mapan adalah 5 konstanta waktu. (seperti pengisian kapasitor)

Dengan data ini Anda dapat memprediksi berapa banyak perubahan suhu yang diharapkan untuk perubahan tegangan yang diberikan dan berapa lama waktu yang dibutuhkan, yaitu respons alami.

Saya kira 'tanggapan yang dipaksakan' akan memerlukan stimulasi berlebih pada sistem untuk mendapatkan hasil yang lebih cepat. Jadi, untuk meningkatkan 30 derajat, kita tahu kita membutuhkan peningkatan input 15 volt. Dengan meningkatkan voltase sebesar 25 volt secara singkat dan kemudian mundur 10 volt, kita dapat mencapai suhu akhir yang diinginkan lebih cepat, yaitu 'memaksa' respons yang lebih cepat.