Menemukan fungsi permintaan yang diberikan fungsi utilitas min (x, y)

Saya bingung tentang poin tertentu mengenai menemukan fungsi permintaan. Semua masalah dalam set praktik yang saya lakukan ini melibatkan penerapan metode pengganda Lagrangian. Tetapi saya tidak yakin apakah ini berlaku untuk masalah ini.

Pengaturan Masalah

Pertimbangkan konsumen dengan fungsi utilitas . Misalkan kita diberi kekayaan w dan harga p_x = 1, p_y = \ frac {1} {2} .$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Pekerjaan saya

Belum banyak yang bisa dilakukan. Yang saya lakukan hanyalah membuat batasan anggaran $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

Kebingungan saya

Saya siap untuk mengatur persamaan pengali Lagrangian ketika tiba-tiba saya menyadari bahwa fungsi utilitas saya adalah fungsi $\min$ . Pada awalnya, saya pikir fungsi ini tidak dapat dibedakan. Sekarang, saya berpikir itu tidak dapat dibedakan tetapi sebagian dapat dibedakan. Saya masih ragu.

Tebakanku

Saya curiga ya $\min$ sebagian dapat dibedakan berdasarkan utas ini

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Tapi saya kira jawaban saya akan membutuhkan komponen atau sesuatu yang sama.

Pertanyaan saya

Apakah pengganda Lagrangian berlaku di sini? Jika demikian, bagaimana cara saya mendefinisikan Lagrangian dalam istilah piecewise karena saya pikir saya perlu lakukan? Jika tidak dapat dibedakan, bagaimana cara memperoleh fungsi permintaan yang diberikan fungsi atau ?$\min$$\max$

Tidak, Anda tidak boleh menggunakan pengganda Lagrange di sini, tetapi berpikir sehat. Misalkan , katakan untuk konkret . Biarkan . Kemudian Jadi konsumen bisa mengurangi konsumsi barang 2, tanpa menjadi lebih buruk. Di sisi lain untuk semua , kita akan memiliki , sehingga konsumen dapat lebih baik dari dengan mengurangi konsumsi barang kedua dan menghabiskan uang yang dibebaskan untuk barang pertama. Secara optimal, konsumen tidak dapat meningkatkan sehingga optimalitas memerlukan . Juga jelas bahwa konsumen meningkat sepanjang$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45 ° sinar. Jadi Anda cukup menggunakan sebagai kondisi optimal untuk diganti dengan batasan anggaran Anda dan memotong pengganda Lagrange.$x=y$