Maksimalisasi keuntungan dengan fungsi Cobb-Douglas

Saya mencoba untuk memaksimalkan laba perusahaan mengingat fungsi produksi (di mana L adalah tenaga kerja dan K adalah modal) dan α + β ≠ 1 .$F(L,K)=L^\alpha K^\beta$$L$$K$$\alpha + \beta \neq 1$

Jadi, saya tahu bahwa masalah maksimalisasi ini dapat ditulis sebagai .$\text{max }pF(L,K)-w_1 L-w_2 K$

Karena , p α ( L ∗ ) α - 1 ( K ∗ ) β = w 1 . Dan karena p M P K ( L ∗ , K ∗ ) = w 2 , p β ( L ∗ ) α ( K ∗ $pMP_L (L^*,K^*)=w_1$$p\alpha(L^*)^{\alpha-1}(K^*)^\beta=w_1$$pMP_K (L^*,K^*)=w_2$ .$p\beta(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta-1}=w_2$

Dengan membagi fungsi-fungsi ini dan menyederhanakan, kita mendapatkan .$\displaystyle\frac{\alpha K^*}{\beta L^*}=\displaystyle\frac{w_1}{w_2}$

Saya tidak yakin bagaimana melanjutkan dari sini. Haruskah saya memecahkan untuk dengan memisahkan K ∗ dari persamaan dan menghubungkannya ke p M P L ? Bukankah ini menghasilkan solusi yang sangat rumit?$L^*$$K^*$$pMP_L$

$L^∗$$K^∗$$pMP_{L}$

Ya, itu saja.

Bukankah ini menghasilkan solusi yang sangat rumit?

Agak. Matematika tersedia di banyak tempat, seperti bagian 4 di sini . Tapi Anda pasti bisa melakukannya sendiri!