Nash Equilibria dalam Target-Destroying-Guarding Game

Tentara A memiliki pesawat tunggal yang dapat menyerang satu dari tiga sasaran yang mungkin, A, B dan C. Tentara B memiliki satu senjata anti-pesawat yang dapat ditugaskan ke salah satu dari tiga sasaran untuk menjaganya. Nilai setiap target, adalah . Tentara A dapat menghancurkan target hanya jika tidak dijaga dan A menyerang. Angkatan Darat A ingin memaksimalkan kerusakan sementara Angkatan Darat B ingin meminimalkan kerusakan. Temukan semua Nash Equilibria.$v_k$$v_A>v_B>v_C>1$

Saya mencoba merumuskan permainan menjadi permainan matriks hasil , dengan memberikan Army A jika target yang dituju dijaga dan nilai target jika tidak dijaga. Demikian pula, untuk hadiah dari Angkatan Darat 2, saya ditugaskan ditambahkan ke penilaian dua target lain yang tidak dihancurkan, jika Angkatan Darat berhasil menghancurkan target dan jika Angkatan Darat gagal menghancurkan target apa pun, yaitu, dengan mengarahkan pada pos yang dijaga. Dengan pengaturan ini, saya menemukan bahwa tidak ada Strategi Murni Nash Equilibria dalam permainan. Saya tidak tahu bagaimana melanjutkan dengan Strategi Campuran, Nash Equilibria, jika ada.$3*3$$0$$-v_k$$v_A+v_B+v_C$

Saya sangat ragu dengan pendekatan yang saya coba gunakan. Saya akan sangat menghargai sedikit bantuan!

Maafkan pemformatan untuk bentuk normal game. Ini adalah permainan zero sum, jadi saya hanya menulis hadiah untuk penyerang:

$$\begin{pmatrix} A|D & a & b & c\\ \hline a & 0 & v_{A} & v_{A}\\ b & v_{B} & 0 & v_{B}\\ c & v_{C} & v_{C} & 0 \end{pmatrix}$$

Jelas, karena , mungkin ada imbalan sedemikian sehingga ada beberapa sehingga dan .$v_{A} > v_{B} > v_{C}$$\lambda$$(1-\lambda)v_{B} > v_{C}$$\lambda v_{A} > v_{C}$

Pertama, misalkan parameternya sedemikian sehingga ada misalnya , dan . Dalam hal ini, sangat didominasi dan oleh karena itu kami dapat menghilangkan dari dukungan strategi campuran penyerang, dan karenanya kami juga dapat menghilangkan dari dukungan dari strategi campuran bek. Tuliskan matriks baru sebagai$\lambda$$v_{A} = 20$$v_{B} = 10$$v_{C} = 1$$c$$c$$c$

$$\begin{pmatrix} A|D & a & b\\ \hline a & 0 & v_{A}\\ b & v_{B} & 0\\ \end{pmatrix}$$

Karenanya, keseimbangan strategi campuran yang unik adalah dan . Perhatikan bahwa ketika nilai target meningkat, penyerang akan benar-benar menyerangnya lebih jarang .$p := \Pr(a|A) = \frac{v_{B}}{v_{A}+v_{B}}$$q := \Pr(a|D) = \frac{v_{A}}{v_{A}+v_{B}}$$A$

Jika, tidak didominasi (ketat atau lemah) maka aljabar menjadi lebih membosankan, tetapi keseimbangan unik akan menjadi strategi campuran dengan dukungan penuh atas ketiga strategi murni. Saya serahkan ini padamu.$c$

Akhirnya, saya serahkan kepada Anda kasus di mana hanya didominasi lemah . Petunjuk: Secara umum bisa ada strategi yang didominasi lemah dalam mendukung keseimbangan strategi campuran, tetapi jika strategi campuran lawan memiliki dukungan penuh, tidak mungkin ada.$c$