Diferensiasi fungsi nilai dalam Burdett Mortensen (1998)

Saat ini saya sedang mencari jalan melalui karya klasik Burdett dan Mortensen tentang pencarian kerja. Apa yang seharusnya menjadi tugas yang mudah untuk menemukan ekspresi untuk upah reservasi dibuat sedikit lebih rumit dengan kehadiran operator maks. Kita dihadapkan dengan persamaan Bellman berikut untuk nilai pekerjaan yang membayar upah . Persamaan bellman adalah standar. Nilai pekerjaan membayar terdiri dari upah ditambah keuntungan yang diharapkan dari mencari dan menemukan pekerjaan yang lebih baik diskon dengan probabilitas tawaran pekerjaan datang ditambah hilangnya karena menjadi pengangguran ketika pekerjaan hancur pada tingkat . Nilai pengangguran $w$ $w$ $w$ $\lambda_1$ $\delta$ $V_0$ terdiri dari tunjangan pengangguran ditambah keuntungan yang diharapkan dari dipekerjakan dengan didiskontokan oleh probabilitas penawaran datang bersama . Perhatikan kemungkinan tawaran dibuat berbeda tergantung pada apakah seseorang sudah bekerja atau menganggur. Distribusi penawaran diberikan oleh Karena meningkat dalam dan independen dari itu kita tahu upah reservasi ada sedemikian rupa sehingga jika $b$ $\lambda_0$ $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

r V_{0} = b + λ_{0} [\int max {V_{0}, V_{1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$

V_{1} (w)

$V_1(w)$

w

$w$

V_{0}

$V_0$

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$ ,

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$ dan

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$ . Argumen standar (integrasi dengan bagian) menunjukkan bahwa

R - b = (λ_{0} - λ_{1}) \int_{R}^{\infty} V_{1}^{'} (\tilde{x}) [1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$ dari sini saya ingin mengambil turunan dari persamaan pertama dan menyelesaikan untuk

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$ . Namun, jika saya menggunakan aturan integrasi Leibniz, saya perlu integrand agar dapat dibedakan. Maks dua fungsi kontinu biasanya tidak dapat dibedakan di mana mereka sama jadi saya punya masalah. Jika saya berasumsi bahwa saya mengintegrasikan semua

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$ maka

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (Penawaran upah yang akan mendorong pekerja untuk beralih pekerjaan) dan hasilnya mengikuti aturan Leibniz. Tetapi ada upah dalam distribusi yang tidak akan diterima dan turunan ini tidak berlaku. Derivatifnya adalah

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1}{r + δ + λ_{1} (1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$ Saya bayangkan saya Saya kehilangan sesuatu tetapi saya tidak yakin apa. Jika ada yang bisa memberi saya saran, saya akan sangat menghargainya.

labor-economics search-and-matching menandai
sumber

Jawaban:

Ketika Anda mengambil integral dari operator , saya pikir Anda harus membagi integral menjadi dua integral terpisah dengan dukungan yang berbeda pada mereka. $\max_{\{\cdot\}}$

Bahkan jika fungsi nilai Anda rumit dan tidak ada diferensiabilitas, Anda hanya perlu kesinambungan untuk adanya solusi untuk menyelesaikan masalah optimisasi.

Kavaleri Kitsune
sumber

Ini adalah usaha saya, di mana saya mengasumsikan batas atas absolut pada dukungan , , untuk kesederhanaan. $F$ $F(\overline{w})=1$

Tulis ulang persamaan pertama sebagai dimana

r V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} - λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$

- λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) = - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) - \underset{I I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

Istilah dan dibatalkan, sehingga pengaturan memberi Jika kita menerapkan aturan Leibniz tahu, kita mendapatkan mana persamaan terakhir mengikuti dari . Memecahkan untuk memberikan solusi yang diinginkan. $I$ $II$

(δ + r) V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} [V_{1} (\tilde{x}) - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$

(δ + r) V_{1}^{'} (w) = 1 - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1}^{'} (w) d F (\tilde{x}) = 1 - λ_{1} V_{1}^{'} (w) [1 - F (w)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

daniel_EDI
sumber