Terikat pada momen frekuensi yang mendekati

Mari menjadi urutan bilangan bulat di mana setiap satu j ∈ { 1 , 2 , ... , n } . Untuk i ∈ { 1 , 2 , … , n } , biarkan m i = | { j : a j = i } | . The k th saat frekuensi didefinisikan sebagai$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

Dalam makalah mereka yang terkenal, Kompleksitas ruang yang mendekati momen frekuensi , Alon et al. memberi streaming algoritma yang mendekati menggunakan kira-kira O ( n 1 - $F_k$spasi. Mereka juga menggunakan teknik kompleksitas komunikasi untuk mendapatkan batas bawahΩ(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$untukk>5. Untukk=0,1,2, mereka menyediakan batas atas dan bawah yang lebih atau kurang cocok.$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

Sudahkah ada perbaikan pada batas-batas ini sejak itu, dan apakah ada kemajuan untuk ?$k = 3,4,5$

$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

Untuk k <= 2

$O(1/\epsilon^2+log(n))$

$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2, saya pikir sketsa AMS dari kertas mereka optimal

Sesuatu yang berhubungan.

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$