Apa yang terjadi jika kita meningkatkan teorema hierarki waktu?

$f,g$$f(n) \log f(n) = o(g(n))$

$$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n))$$ $f,g$$f(n+1)=o(g(n))$itu adalah Ada banyak hasil (lama dan saat ini) yang menggunakan teorema hierarki waktu untuk membuktikan batas bawah. Ini pertanyaan saya: $$NTIME(f(n)) \subsetneq NTIME(g(n)).$$

• Apa yang terjadi jika kita dapat membuktikan hasil yang lebih baik untuk kasus deterministik atau nondeterministik?

• Jika kita dapat membuktikan bahwa ada kesenjangan antara hierarki waktu deterministik dan hierarki waktu nondeterministik, apakah ini menyiratkan ?$P \neq NP$

Tentang pertanyaan kedua Anda. Tidak, itu tidak akan menyiratkan . Teorema hierarki sebagian besar berguna untuk menentukan jumlah sumber daya tunggal yang dibutuhkan oleh TM sehingga masalah tambahan dapat diselesaikan.$P \neq NP$

Sebagai contoh, kita tahu bahwa . Misalkan , , sedemikian rupa sehingga dan .$DTIME(n) \neq NTIME(n)$$f(n) = n$$g(n)$$h(n)$$f(n+1) = o(g(n))$$f(n)log(f(n)) = o ( h(n) )$

Dari teorema hierarki berikut bahwa dan . Berdasarkan asumsi tersebut, dimungkinkan.$DTIME( f(n) ) \subsetneq DTIME( g(n) )$$NTIME ( f(n) ) \subsetneq NTIME( h(n) )$$NTIME( g(n) ) \subseteq DTIME( h(n) )$

Teorema hierarki dapat digunakan untuk menentukan hubungan antara sumber daya, memberikan kesetaraan di antara mereka. Misalnya, asumsikan bahwa . Kita tahu bahwa , untuk sedemikian rupa sehingga , tidak dapat sama dengan , karena teorema hierarki NTIME.$NTIME(2^{n}) = SPACE( n )$$NTIME( g(n) )$$g(n)$$2^{n+1} = o(g(n))$$SPACE(n)$

hierarki ini juga tentang sebuah kontinum dalam ruang dan waktu (dipertimbangkan secara terpisah) dan tampaknya kontinum tersebut tidak lebih "granular" daripada yang tersirat dalam teorema, yaitu mereka mungkin merupakan "granularity" terbaik.

pertanyaan kedua Anda tampaknya tidak jelas atau mungkin tidak terdefinisi dengan baik kecuali Anda dapat lebih baik mendefinisikan apa yang Anda maksud dengan "gap". semua masalah yang dapat dipecahkan dapat dipecahkan di suatu tempat di kedua hierarki. kesulitannya adalah menentukan hubungan timbal balik. salah satu "kesenjangan" atau pemisahan yang langka dalam teori saat ini memang telah terbukti dalam waktu deterministik vs waktu nondeterministik sedemikian rupa sehingga [1]. lihat juga [2] untuk pertanyaan serupa & kemajuan "terkini"$\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$

[1] PPST1983 http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1382850

[2] NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?