Biarkan menjadi poin di dalam pesawat . Pertimbangkan grafik lengkap dengan titik sebagai simpul dan dengan bobot ujung . Bisakah Anda selalu menemukan potongan berat yang setidaknya \ frac 2 3 dari total berat? Jika tidak, konstanta mana yang harus menggantikan \ frac 2 3 ?
Contoh terburuk yang dapat saya temukan adalah 3 poin pada segitiga sama sisi, yang mencapai . Perhatikan bahwa pemisahan acak akan menghasilkan , tetapi tampaknya secara intuitif jelas bahwa dalam dimensi rendah, seseorang dapat mengelompok lebih baik daripada secara acak.
Apa yang terjadi untuk max-k-cut untuk k> 2? Bagaimana dengan dimensi d> 2? Apakah ada kerangka kerja untuk menjawab pertanyaan seperti itu? Saya tahu tentang ketidaksetaraan Cheeger, tetapi itu berlaku untuk sparsest cut (bukan max-cut) dan hanya berfungsi untuk grafik biasa.
(Pertanyaan terinspirasi oleh masalah pengelompokan sumber cahaya dalam grafik komputer untuk meminimalkan variasi).
Jawaban:
Konstanta cenderung 1/2 ketika dimensi meningkat. Dalam dimensi d, Anda dapat memiliki d + 1 poin pada jarak satu sama lain, sehingga jumlah jarak kuadrat adalah dan potongan maksimum paling banyak , yang merupakan fraksi dari total berat(d+12) (d+1)2/4 12⋅d+1d
sumber
Ambil 3 poin A, B, C pada segitiga sama sisi dan tambahkan 3 poin D, E, F, di tengah. Jelas Anda menginginkan dua A, B, C di satu sisi potongan, jadi katakanlah potongan pada tiga poin ini adalah (AB; C). Sekarang, masing-masing titik D, E, F harus berada di sisi C dari potongan, sehingga potongan optimal adalah (AB; CDEF), dan rasionya mudah diperiksa menjadi 2/3.
Sekarang, gerakkan masing-masing titik D, E, F sedikit menjauh dari pusat untuk membentuk segitiga sama sisi kecil. Tidak masalah ke arah mana, selama mereka simetris di sekitar pusat. Jika Anda memindahkan mereka jarak yang cukup kecil, potongan optimal masih harus (AB; CDEF). Pertimbangkan panjang potongan ini. Tepi (AC, BC) membentuk 2/3 dari total panjang tepi (AB, BC, AC). Secara simetri, panjang total tepi (AD, AE, AF, BD, BE, BF) adalah 2/3 dari panjang tepi (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ). Tapi tidak ada ujungnya (DE, EF, DF) yang ada di cut. Jadi rasio pemotongan ini sangat kurang dari 2/3.
Anda harus dapat mengoptimalkan konstruksi ini untuk menemukan konfigurasi di mana potongan optimal secara signifikan kurang dari 2/3. Cobalah, saya mengerti bahwa jika Anda mengambil enam poin yang disusun dalam dua segitiga sama sisi yang memiliki pusat yang sama, dengan yang lebih kecil ukuran yang lebih besar, maka maks menjadi berat total, bukan .(6–√−1)/5≈.2899 .6408 2/3
sumber