Ketika kami mempertimbangkan algoritma aproksimasi untuk masalah minimisasi, kesenjangan integral dari formulasi IP untuk masalah ini memberikan batas yang lebih rendah dari rasio aproksimasi untuk kelas algoritma tertentu (seperti pembulatan atau algoritma primal-dual). Bahkan, ada banyak masalah yang rasio perkiraan terbaiknya cocok dengan kesenjangan integral.
Beberapa algoritma mungkin memiliki rasio aproksimasi yang lebih baik daripada gap integral untuk beberapa masalah, tapi saya tidak tahu apakah contoh seperti itu ada atau tidak. Jika jawabannya ya, bisakah Anda memberikan beberapa contoh?
Saya tahu bahwa beberapa masalah menerima beberapa formulasi matematika. Dalam kasus seperti itu, pertimbangkan formulasi matematis dengan celah integral terkecil, selama itu dapat diselesaikan dalam waktu polinomial (mungkin beberapa formulasi dapat menggunakan oracle pemisahan).
Pertanyaan ini terkait dengan [pertanyaan: Pentingnya Celah Integralitas] .
Jawaban:
Seperti yang ditunjukkan, ada beberapa contoh.
Contoh klasik adalah pencocokan maksimum, di mana relaksasi "alami" (tanpa kendala set ganjil) memiliki celah 2, sementara tentu saja ada algoritma yang efisien. Yang satu ini tidak sepenuhnya memenuhi syarat, karena ada LP berukuran eksponensial yang dapat diselesaikan melalui ellipsoid.
Yang menarik adalah lokasi fasilitas berkapasitas. Di sini relaksasi alami memiliki kesenjangan integral yang tak terbatas. Namun algoritma pencarian berbasis lokal memberikan perkiraan faktor konstan.
Satu lagi yang sangat menarik (meskipun ini adalah masalah maksimalisasi) adalah makalah ini: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Di sini LP memiliki celah yang besar, namun algoritma yang menggunakan LP itu dapat melakukan yang lebih baik.
sumber
Ada berbagai contoh di mana relaksasi pemrograman semidefinite memungkinkan pendekatan yang lebih baik dari kesenjangan integral yang diketahui untuk relaksasi pemrograman linier.
Sebagai contoh, relaksasi pemrograman linier standar dari max cut memiliki kesenjangan integral 1/2, dan ini benar bahkan untuk relaksasi pemrograman linear yang jauh lebih canggih (cf de la Vega-Kenyon dan Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani), tetapi Goemans Algoritma -Williamson SDP memiliki perkiraan .878 ...
Mungkin kurang dikenal, Karloff dan Zwick menunjukkan bahwa menggunakan SDP seseorang dapat mendekati Max 3SAT, dalam versi di mana klausa dapat memiliki 1, 2 atau 3 literal, dalam 7/8, sementara Goemans dan Williamson telah mempelajari relaksasi pemrograman linear yang mereka gunakan. digunakan untuk membuktikan perkiraan 3/4 (Yannakakis telah memberikan perkiraan 3/4 lebih awal dengan metode lain), dan relaksasi LP Goemans-Williamson dari Max 3SAT mudah terlihat memiliki celah integral 3/4.
sumber
Ada juga hasil oleh Grant untuk menyelesaikan sistem linear di atas GF_2. Untuk sistem persamaan dengan solusi yang baik, Anda memiliki kesenjangan integral SDP (dalam bentuk yang sangat kuat) dari 2 sementara Anda dapat menggunakan Eliminasi Gaussian untuk menyelesaikan masalah dengan tepat.
sumber