Norma pemotongan dari matriks nyata adalah maksimum dari semua dari kuantitas .
Tentukan jarak antara dua matriks dan menjadi
Berapakah kardinalitas -net terkecil dari ruang metrik ?
yaitu ukuran subset terkecil sedemikian rupa sehingga untuk semua , terdapat sedemikian rupa sehingga .
(EDIT: Saya lupa lagi, tapi saya juga tertarik pada "non-benar" -nets, dengan - yaitu jika unsur-unsur -net memiliki entri di luar [0,1 ], itu juga menarik.)
Saya tertarik pada batas atas dan batas bawah.
Perhatikan bahwa teknik cut sparsifier menyiratkan -net untuk cut metrics, tetapi berikan sesuatu yang lebih kuat dari yang saya butuhkan - mereka memberikan ϵ -net yang Anda dapat menemukan titik ϵ -cose ke matriks apa pun secara efisien hanya dengan mengambil sampel dari matriks tersebut. Orang mungkin membayangkan bahwa terdapat jauh lebih kecil ε -nets yang Anda tidak bisa hanya sampel do menemukan ε titik-dekat dengan matriks sewenang-wenang.
Saya awalnya mengajukan pertanyaan ini di sini di mathoverflow.
sumber
Jawaban:
Berikut ini perkiraan yang mudah. Di sini kita sebut satu set S ⊆ X merupakan ε -net dari ruang metrik X saat untuk setiap titik x ∈ X , terdapat titik s ∈ S sehingga jarak antara x dan s adalah paling ε . Jika Anda menginginkan ketimpangan yang ketat dalam definisi ε -net, Anda dapat mengubah sedikit nilai ε .
Ini menyatakan bahwa || A || ∞ ≤ || A || C ≤ n 2 || A || ∞ , di mana || A || ∞ menunjukkan entrywise max-norma dari n × n matriks A .
Mudah untuk membangun ε -net dari ruang metrik ([0,1] N , d ∞ ) dengan ukuran ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N , dan tidak sulit untuk menunjukkan bahwa ukuran ini adalah minimum. (Untuk menunjukkan minimal, pertimbangkan ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N titik yang koordinatnya adalah kelipatan 1 / ⌈1 / (2 ε ) −1⌉ dan tunjukkan bahwa jarak antara dua titik ini lebih besar dari 2 ε .) Dengan menetapkan N = n 2 dan menggabungkan ini dengan perbandingan yang disebutkan sebelumnya antara norma potong dan norma-maks, kardinalitas minimum ε-net sehubungan dengan norma cut setidaknya ⌈1 / (2 ε ) ⌉ n 2 dan paling banyak ⌈ n 2 / (2 ε ) ⌉ n 2 .
Pembaruan : Jika perhitungan saya benar, batas bawah yang lebih baik Ω ( n / ε ) n 2 dapat diperoleh dengan argumen volume. Untuk melakukan ini, kita memerlukan batas atas pada volume bola- ε sehubungan dengan norma pemotongan.
Pertama kita mempertimbangkan "cut norm" dari satu vektor, yang merupakan maksimum antara jumlah elemen positif dan jumlah elemen negatif yang dinegasikan. Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa volume bola- ε dalam ℝ n sehubungan dengan "norma pemotongan" ini sama dengan
Selanjutnya, karena norma potong dari n × n matriks A lebih besar dari atau sama dengan norma potong setiap baris, volume bola- ε dalam ℝ n × n paling banyak adalah kekuatan ke- n dari volume volume suatu ε -bola di ℝ n . Oleh karena itu ukuran ε -net [0,1] n × n harus setidaknya
di mana persamaan terakhir adalah perhitungan yang membosankan di mana kami menggunakan rumus Stirling : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).
sumber