Apakah ada kemajuan dalam memperketat eksponen dalam hasil bahwa kemerdekaan polylog menipu

Braverman menunjukkan bahwa distribusi yang -berdiri bebasϵ-kedalaman mendalamdAC0sirkuit ukuranmdengan "menempelkan" perkiraan Smolensky dan pendekatan Fourier darifungsi Boolean yang dapat dikomputasi denganAC0. Penulis dan orang-orang yang menduga dugaan ini bahwa eksponen di sana dapat direduksi menjadiO(d$(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$$\epsilon$$d$ $AC^0$$m$$AC^0$$O(d)$, dan saya ingin tahu apakah kemajuan telah dibuat untuk ini, seperti yang saya bayangkan akan melibatkan pembuatan polinomial yang dekat dalam jarak korelasi serta benar-benar setuju dengan fungsi pada sejumlah besar input, dan saya pikir itu akan menjadi perkiraan yang sangat menarik untuk ditemukan tanpa menempelkan keduanya. Apakah ada alasan untuk memperkirakan bahwa perkiraan seperti itu harus memiliki derajat yang tidak diketahui ketika Braverman menulis makalahnya pada tahun 2010?$O(d^2)$

Pertanyaan lain tentang makalah ini yang saya miliki adalah bahwa dugaan aslinya menyerupai terikat Boppana pada sensitivitas, meskipun itu dalam makalah yang ditulis sebelum ikatan ini. Ini, tentu saja, bukan kebetulan, karena ikatan ini sesuai dengan konsentrasi Fourier yang dapat Anda peroleh dari ikatan Boppana jika polinom Fourier bekerja, tetapi apakah ada intuisi yang lebih baik yang Anda ketahui daripada itu "jika polinomial Fourier bekerja , ini yang akan Anda dapatkan "satu?

$$\left(\log\frac{m}{\varepsilon}\right)^{O(d)}\,. \tag{1}$$ $k$ $$k = \left(\log m \right)^{O(d)}\cdot\log\frac{1}{\varepsilon}\,. \tag{2}$$ $\varepsilon$$m$$d$

---

$\mathsf{AC}_0$

$\mathsf{AC}_0$