Saya belum bisa menemukan karakterisasi yang tepat dalam menghilangnya kesenjangan dualitas SDP. Atau, kapan "dualitas kuat" bertahan?
Misalnya, ketika seseorang bolak-balik antara Lasserre dan SOS SDP, pada prinsipnya seseorang memiliki celah dualitas. Namun, entah mengapa ada alasan "sepele" mengapa celah ini tidak ada.
Kondisi Slater tampaknya cukup tetapi tidak perlu dan itu berlaku untuk semua program cembung. Saya berharap bahwa untuk SDP khususnya sesuatu yang lebih kuat mungkin benar. Saya juga akan senang melihat contoh eksplisit menggunakan kondisi Slater untuk membuktikan lenyapnya kesenjangan dualitas.
sumber
Untuk SDP dalam bentuk standar kondisi Slater mengurangi keberadaan positif pasti yang memenuhi batasan affine . Saya kira ini puas untuk setiap SDP yang dapat Anda temukan dalam literatur algoritma optimasi / pendekatan kombinatorial. Misalnya, untuk Goemans-Williamson Max-Cut SDP, batasan kelayakan adalah dan matriks identitas adalah solusi layak yang pasti positif.
Sejauh hierarki Lasserre / Sum of Squares, Lasserre menunjukkan bahwa jika set yang layak ditentukan oleh kendala polinomial memiliki titik interior, maka tidak ada kesenjangan kualitas. Anda dapat menemukan kondisi yang lebih lemah di makalah ini .
sumber
Ada karakterisasi yang bagus (saya pikir ....) ketika dualitas kuat berlaku, atau gagal untuk fungsi objektif {\ em all}.
Kami mengatakan bahwa semidefinite {\ em system}
adalah berperilaku buruk jika di sini adalah fungsi tujuan yang SDPc
memiliki nilai optimal yang terbatas, tetapi dual SDP tidak memiliki solusi dengan nilai yang sama: yaitu, dualitas yang kuat gagal untuk beberapac.
Tentu saja, jika kondisi Slater berlaku, maka berperilaku baik, tetapi sebaliknya tidak benar.(PSD)
https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf
Makalah ini segera keluar di SIAM Review. Saya harap orang-orang akan menyukainya :)
sumber