Kapan santai menghitung keras?

Misalkan kita mengendurkan masalah penghitungan pewarnaan yang tepat dengan menghitung pewarnaan berbobot sebagai berikut: setiap pewarnaan yang tepat mendapat bobot 1 dan setiap pewarnaan yang tidak tepat mendapatkan bobot mana adalah konstan dan adalah jumlah tepi dengan titik akhir berwarna sama. Ketika pergi ke 0, ini mengurangi untuk menghitung pewarnaan yang tepat yang sulit untuk banyak grafik. Ketika c adalah 1, setiap pewarnaan mendapat bobot yang sama dan masalahnya sepele. Ketika matriks adjacency dari grafik dikalikan dengan memiliki radius spektral di bawah $c^v$ $c$ $v$ $c$ $-\log(c)/2$ $1-\epsilon$ , jumlah ini dapat diperkirakan oleh penyebaran keyakinan dengan jaminan konvergensi, sehingga mudah dalam praktiknya. Secara teori juga mudah karena pohon perhitungan tertentu menunjukkan pembusukan korelasi dan karenanya memungkinkan algoritma waktu polinomial untuk perkiraan yang dijamin - Tetali, (2007)

Pertanyaan saya adalah - properti grafik apa yang membuat masalah ini sulit untuk algoritma lokal? Sulit dalam arti bahwa hanya sejumlah kecil dapat diatasi. $c$

Sunting 09/23 : Sejauh ini saya menemukan dua algoritma pendekatan polinomial deterministik untuk kelas masalah ini (turunan dari makalah STOC2006 Weitz dan pendekatan "ekspansi rongga" Gamarnik untuk perkiraan penghitungan), dan kedua pendekatan bergantung pada faktor percabangan dari self- menghindari jalan-jalan pada grafik. Jari-jari spektrum muncul karena itu merupakan batas atas pada faktor percabangan ini. Pertanyaannya kemudian - apakah ini perkiraan yang bagus? Bisakah kita memiliki urutan grafik di mana faktor percabangan dari jalan-jalan yang menghindari diri sendiri dibatasi, sementara faktor percabangan dari jalan-jalan biasa tumbuh tanpa terikat?

Sunting 10/06 : Makalah ini oleh Allan Sly (FOCS 2010) tampaknya relevan ... hasilnya menunjukkan bahwa faktor percabangan dari pohon tak berujung berjalan menghindari secara tepat menangkap titik di mana penghitungan menjadi sulit.

Sunting 10/31 : Dugaan Alan Sokal ( hal.42 dari "Polinomia Tutte multivariat" ) bahwa ada batas atas pada radius daerah bebas nol dari polinomial kromatik yang linier dalam hal aliran maxmax (aliran st maksimum melewati semua pasangan s, t). Ini tampaknya relevan karena korelasi jarak jauh muncul ketika jumlah pewarnaan yang tepat mendekati 0.

graph-theory approximation-algorithms approximation-hardness counting-complexity graph-colouring Yaroslav Bulatov
sumber

Pertanyaan bagus

András Salamon

Ini akan familiar bagi siapa saja yang bekerja di area ini, tetapi mungkin Anda bisa menyebutkan bahwa masalah yang tepat untuk warna dan dikenal sebagai # P-hard oleh Teorema 1 dari "Kompleksitas fungsi partisi" oleh A. Bulatov & Grohe, karena matriks dengan pada diagonal dan tempat lain setidaknya memiliki peringkat 2.

k \geq 3

$k\geq3$

c \neq 1

$c\neq 1$

k \times k

$k\times k$

c

$c$

1

$1$

Colin McQuillan

Juga, ini adalah model Potts keadaan-q antiferromagnetik, benar?

Colin McQuillan

@ Kaveh: Bisakah Anda mengembalikannya? Kedua tag itu, meskipun paling tidak populer, menggambarkan pertanyaan ini dengan paling baik. Retagging setiap pertanyaan untuk menyertakan hanya tag yang paling populer tampaknya tidak jujur bagi saya.

RJK

@Kaveh: Mengapa Anda tidak bertanya pada OP tag arXiv mana yang ia inginkan dan tag non-arXiv mana yang ingin dihapus, bukan membuat pilihan sepihak berdasarkan popularitas? Saya sama sekali tidak setuju dengan pendapat bahwa memberikan tag yang lebih umum mengatur situs dengan lebih baik. Tag favorit saya tidak termasuk yang tingkat atas.

RJK

Jawaban:

Ini sulit untuk grafik planar, setidaknya untuk enam warna atau lebih. Lihat "Ketidakpastian polinomial Tutte dari grafik planar" oleh Goldberg dan Jerrum

Colin McQuillan
sumber

Perhatikan bahwa ini menanyakan tentang versi penghitungan yang santai. Untuk grafik apa pun ada rentang c yang penghitungannya santai itu mudah. Pertanyaannya adalah bagaimana mengukur rentang ini

Yaroslav Bulatov

BAIK. Saya sepertinya telah mencuri hadiah yang Anda tawarkan, jadi saya akan menawarkan 50 poin untuk pertanyaan ini.

Colin McQuillan

isyarat yang bagus, Colin!

Suresh Venkat

Tidak ada jawaban lain dan 50 poin akan hilang jika tidak! Sistem memberlakukan batas 7 hari sewenang-wenang untuk hadiah. Lihat meta.stackexchange.com/questions/1413/… untuk diskusi tentang perubahan terbaru dalam sistem.

András Salamon

Beberapa komentar lagi:

Algoritma lokal untuk penghitungan akan menghitung penghitungan dari satu set statistik per-simpul di mana setiap statistik adalah fungsi dari beberapa lingkungan grafik dari node. Untuk pewarnaan, statistik tersebut terkait dengan "probabilitas marjinal menemukan warna c". Berikut adalah contoh pengurangan ini untuk grafik sederhana.

Ini mengikuti dari makalah terbaru Alan Sly yang menghitung set independen menggunakan algoritma lokal sama sulitnya dengan menghitung set independen menggunakan algoritma apa pun. Kecurigaan saya bahwa ini berlaku untuk penghitungan umum pada grafik.

Untuk algoritma lokal, kekerasan tergantung pada bagaimana korelasi antara node berperilaku sehubungan dengan jarak antar node. Untuk jarak yang cukup besar, korelasi ini pada dasarnya hanya memiliki dua perilaku - baik korelasi meluruh secara eksponensial dalam jarak grafik, atau tidak membusuk sama sekali.

Jika ada peluruhan eksponensial, statistik lokal tergantung pada lingkungan yang ukurannya polinomial dalam ukuran grafik, sehingga masalah penghitungannya mudah.

Dalam model fisika statistik dicatat (yaitu, de Gennes, Emery) bahwa ada hubungan antara jalan yang menghindari diri sendiri, pembusukan korelasi, dan transisi fase. Titik di mana fungsi pembangkit untuk menghindarkan diri berjalan di atas kisi menjadi tak terbatas sesuai dengan suhu di mana korelasi jarak jauh muncul dalam model.

Anda dapat melihat dari konstruksi berjalan kaki Weitz yang menghindari diri sendiri mengapa jalan menghindar diri muncul dalam pembusukan korelasi - marjinal dapat diwakili persis sebagai akar dari pohon jalan menghindar diri, jadi jika faktor percabangan dari pohon ini adalah cukup kecil, pada akhirnya daun pohon menjadi tidak relevan.

Jika "kekerasan lokal" menyiratkan kekerasan, maka itu cukup untuk mengukur sifat-sifat yang menentukan tingkat pertumbuhan jalan kaki yang menghindari diri sendiri. Laju pertumbuhan yang tepat dapat diekstraksi dari fungsi pembangkit untuk jalan yang menghindari diri sendiri, tetapi sulit untuk dihitung. Jari-jari spektral mudah dihitung, dan memberikan batas bawah.

Yaroslav Bulatov
sumber

ini adalah ringkasan yang bagus, dan terima kasih untuk penunjuk ke kertas Allan Sly: sekarang saya terinspirasi untuk menghadiri ceramah!

Suresh Venkat

Beberapa komentar: bukan jawaban.

$c$ $c$ $c \in [0,\epsilon)$ $\epsilon > 0$ $c$ $c$

$c$

Anda meminta properti struktural dari kelas grafik yang akan memungkinkan masalah tetap sulit. Sejauh yang saya tahu, hampir selalu akan sulit. Tetapi ini sangat samar dan membutuhkan lebih banyak pekerjaan.

András Salamon
sumber