Sejauh mana matematika Real dapat diterapkan ke Real Komputasi?

Apakah ada teorema umum yang akan menyatakan, dengan sanitasi yang tepat, bahwa hasil yang paling diketahui mengenai penggunaan bilangan real sebenarnya dapat digunakan ketika mempertimbangkan hanya real yang dapat dihitung? Atau adakah karakterisasi hasil yang tepat yang tetap valid ketika hanya mempertimbangkan real yang dapat dihitung? Pertanyaan sampingannya adalah apakah hasil yang berkaitan dengan real yang dapat dihitung dapat dibuktikan tanpa harus mempertimbangkan semua yang nyata, atau apa pun yang tidak dapat dihitung. Saya berpikir khusus tentang kalkulus dan analisis matematis, tetapi pertanyaan saya sama sekali tidak terbatas pada itu.

Sebenarnya, saya kira ada hierarki real yang dapat dihitung sesuai dengan hierarki Turing (Apakah itu benar?). Kemudian, secara lebih abstrak, apakah ada teori abstrak nyata (saya tidak yakin apa terminologi seharusnya), di mana sejumlah hasil dapat dibuktikan, yang akan berlaku untuk bilangan real tradisional, tetapi juga untuk real yang dapat dihitung, dan ke level apa pun dari hierarki Turing dari real yang dapat dihitung, jika ada.

Maka pertanyaan saya mungkin dapat dinyatakan sebagai: Apakah ada karakterisasi hasil yang akan berlaku dalam teori abstrak real ketika mereka telah terbukti untuk real tradisional. Dan, dapatkah hasil ini dibuktikan secara langsung dalam teori abstrak, tanpa mempertimbangkan real tradisional.

Saya juga tertarik untuk memahami bagaimana dan kapan teori real ini berbeda.

PS Saya tidak tahu di mana harus cocok ini dalam pertanyaan saya. Saya menyadari bahwa banyak matematika pada real telah digeneralisasi dengan topologi. Jadi bisa jadi jawaban untuk pertanyaan saya, atau bagian dari itu, dapat ditemukan di sana. Tetapi mungkin juga ada lebih dari itu.

Bilangan real dapat dicirikan dalam beberapa cara, mari kita bekerja dengan bidang perintah archimedean Cauchy-complete . (Kita perlu sedikit berhati-hati bagaimana tepatnya kita mengatakan ini, lihat Definisi 11.2.7 dan Definisi 11.2.10 dari buku HoTT .)

Teorema berikut ini valid dalam topos apa pun (model logika intuitionistic tingkat tinggi):

Teorema: Ada bidang urutan archimedean lengkap Cauchy, dan pada kenyataannya setiap dua bidang tersebut adalah isomorfik kanonik.

Selain itu, dalam logika intuitionistic (jangan dikacaukan dengan intuitionism ) kita dapat melakukan banyak analisis nyata (urutan dan batas, turunan, integral, kontinuitas, keseragaman seragam, dll.) Yang kemudian berlaku di topos apa pun. Jika kita mengambil topos set kita mendapatkan analisis nyata yang biasa. Dengan mengambil topos yang berbeda kita mendapatkan jenis analisis nyata yang berbeda - dan ada topos yang menghasilkan persis real yang dapat dihitung dan analisis nyata yang dapat dihitung.

Ini tentu saja adalah topos yang efektif , di mana bilangan real adalah real yang dapat dihitung (berbicara secara samar, alasan untuk ini adalah bahwa topos yang efektif dibangun sedemikian rupa sehingga segala sesuatu di dalamnya secara otomatis dapat dihitung). Jawaban untuk pertanyaan Anda adalah

Definisi, konstruksi, dan teorema dalam analisis real intuitionistic secara otomatis diterjemahkan ke definisi, konstruksi, dan teorema tentang real yang dapat dihitung ketika kita menafsirkannya dalam topos yang efektif.

Sebagai contoh, teorema "setiap peta kontinu yang seragam mencapai supremumnya" adalah valid secara intuisi. Ketika kita menafsirkannya dalam topos efektif kita mendapatkan versi yang sesuai untuk peta yang dapat dihitung pada real yang dapat dihitung yang secara kontinyu dapat dihitung secara kontinyu.$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

Anda juga bertanya tentang "perbedaan" antara analisis nyata dan versi yang dapat dihitung. Jawabannya adalah bahwa hasil yang bergantung pada hukum menengah yang dikecualikan atau aksioma pilihan (walaupun pilihan yang dapat dihitung ok) tidak intuitionistic, dan karenanya tidak dapat divalidasi dalam topos yang efektif. Namun, kita harus mencatat bahwa (bertentangan dengan pendapat umum) sebagian besar analisis dapat dilakukan secara intuisi.

Topos yang efektif hanyalah salah satu dari banyak toposa yang dapat diwujudkan . Ketika kami menginterpretasikan analisis intuitionistic pada topisabilitas realisasi lainnya, kami mendapatkan model alternatif kemampuan komputasi bilangan real, termasuk perhitungan dengan nubuat yang Anda singgung. "Topos fungsi realizability fungsi Kleene relatif" (apa pun itu) memberikan apa yang disebut Tipe II komputabilitas pada real di mana peta yang dapat dihitung beroperasi pada semua real, bukan hanya yang dapat dihitung.

Saya mencoba menjelaskan ini sekali dalam catatan "Kesadaran sebagai Koneksi antara Matematika Komputasi dan Konstruktif" , dan sebelum itu dalam Ph.D. tesis .