Kompleksitas menghitung jumlah penutup tepi grafik

Sebuah penutup tepi adalah bagian dari tepi grafik sehingga setiap titik dari grafik berdekatan dengan setidaknya satu tepi penutup. Dua makalah berikut mengatakan bahwa menghitung penutup tepi adalah #P -lengkap : FPTAS Sederhana untuk Menghitung Penutup Tepi dan Menghasilkan Tepi Tepi dari Grafik Jalur . Namun, kecuali saya melewatkan sesuatu, mereka tidak memberikan referensi untuk klaim ini, atau bukti. (Referensi 3 dari makalah pertama tampak menjanjikan, tetapi saya juga tidak menemukan apa yang saya inginkan di sana.)

Di mana saya dapat menemukan referensi atau bukti fakta bahwa menghitung jumlah penutup tepi grafik adalah # P-complete?

Saya tidak tahu di mana ini pertama kali terbukti, tetapi karena EdgeCover memiliki ekspresi sebagai masalah Boolean domain Holant, itu termasuk dalam banyak teorema dikotomi Holant.

EdgeCover termasuk dalam teorema dikotomi pada (1). Teorema 6.2 (dalam versi jurnal atau Teorema 6.1 dalam pracetak) menunjukkan bahwa EdgeCover adalah # P-hard over planar 3-regular graphs. Untuk melihat ini, ekspresi untuk EdgeCover sebagai masalah Holant atas grafik 3-reguler adalah (atau ganti [ 0 , 1 , 1 , 1 ] dengan [ 0 , 1 , … , 1 ] mengandung k 1 untuk masalah yang sama di atas $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$$[0,1,1,1]$$[0,1,\dotsc,1]$$k$$k$- grafik tidak teratur). Ini daftar notasi output dari fungsi simetris di urutan masukan Hamming berat badan. Untuk beberapa subset dari tepi yang ditetapkan (yang kami anggap ditugaskan 1 dan set komplemen ditugaskan 0), kendala pada setiap simpul adalah bahwa setidaknya satu tepi ditugaskan 1, yang persis seperti fungsinya [ 0 , 1 , 1 , 1 ] . Untuk subset tepi yang tetap, bobotnya adalah produk dari output [ 0 , 1 , 1 , 1 $[0,1,1,1]$$[0,1,1,1]$$[0,1,1,1]$di setiap titik. Jika ada titik yang tidak tercakup, itu berkontribusi faktor . Jika semua simpul tertutup, maka semua simpul berkontribusi faktor 1 , jadi bobotnya juga 1 . Kemudian Holant adalah untuk menjumlahkan setiap subset tepi yang mungkin dan menambahkan bobot yang sesuai untuk setiap subset. Nilai Holant ini persis sama jika kita membagi setiap tepi dan memaksakan batasan bahwa kedua tepi insiden ke simpul baru ini harus sama. Menggunakan notasi fungsi simetris, fungsi kesetaraan biner ini adalah [ 1 , 0 , 1 ] . Grafik ini adalah bipartit. Verteks dalam satu bagian memiliki [ 0 , 1 $0$$1$$1$$[1,0,1]$ kendala sementara simpul di bagian lain memilikikendala [ 1 , 0 , 1 ] . Ungkapan untuk ini sebagai masalah Holant adalah Holant ( [ 0 , 1 , 1 , 1 ] | [ 1 , 0 , 1 ] ) . Kemudian Anda dapat memeriksa sendiri bahwa baris " [ 0 , 1 , 1 , 1 ] " dan kolom " [ 1 , $[0,1,1,1]$$[1,0,1]$$\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$$[0,1,1,1]$$[1,0,1]$ "dari tabel dekat teorema yang dikutip di atas mengandung" H ", yang berarti masalahnya adalah # P-hard bahkan grafik input harus planar.

Catatan: Perhatikan bahwa Pinyan Lu adalah penulis makalah ini dan makalah pertama yang Anda kutip. Saya menduga bahwa ketika makalah mereka mengatakan "menghitung penutup tepi adalah masalah # P-lengkap bahkan ketika kita membatasi input ke 3 grafik biasa", mereka secara implisit mengutip (1). Mereka mungkin tidak menyebutkan bahwa kekerasan juga berlaku ketika lebih terbatas pada grafik planar karena FPTAS mereka tidak memerlukan pembatasan ini.

Kemudian teorema dikotomi Holant, seperti yang ada di (2,3) --- versi konferensi dan jurnal dari karya yang sama --- terbukti lebih banyak. Teorema 1 (dalam kedua versi) mengatakan bahwa EdgeCover adalah # P-hard over planar regular graphs untuk k ≥ 3 . Untuk melihat ini, kita perlu menerapkan transformasi holografik. Seperti dijelaskan di atas, ekspresi untuk EdgeCover sebagai masalah Holant atas k- regular graph adalah Holant ( [ 0 , 1 , … , 1 ] ) , di mana [ 0 , 1 , … , 1 ] berisi $k$$k \ge 3$$k$$\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$$[0,1,\dotsc,1]$$k$1 Dan lebih jauh lagi, ini setara dengan . Sekarang kita menerapkan transformasi Holographic oleh T = [ 1 e π i / k 1 0$\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$$T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$(atau kebalikannya, tergantung pada perspektif Anda). Oleh Valiant's Holant Theorem (4,5), ini tidak mengubah kompleksitas masalah (pada kenyataannya, kedua masalah tersebut sebenarnya adalah masalah yang sama karena mereka menyetujui output dari setiap input ... hanya ekspresi dari masalah yang telah berubah ). Ekspresi alternatif untuk masalah ini adalah

$$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$$ $=_k$$k$ inputs. To apply Theorem 1, we have to normalize $[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$ to $[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$ by dividing the original function by $e^{\pi i / k}$, which doesn't change the complexity of the problem since this value is nonzero. Then the values $X$ and $Y$ in the statement of the theorem are $X = 2$ and $Y = -2^k - 1$. For $k \ge 3$, one can check that this problem, so thus EdgeCover as well, is #P-hard over planar $k$-regular graphs for $k \ge 3$.

Side note: One can also see this theorem and proof in Michael Kowalczyk's thesis.

I will continue my literature search to see EdgeCover was shown to be #P-hard before (1).

(1) Holographic Reduction, Interpolation and Hardness by Jin-Yi Cai, Pinyan Lu, and Mingji Xia (journal, preprint).

(2) A Dichotomy for $k$-Regular Graphs with $\{0,1\}$-Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(3) Partition functions on $k$-Regular Graphs with $\{0,1\}$-Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(4) Holographic Algorithms by Leslie G. Valiant

(5) Valiant’s Holant Theorem and matchgate tensors by Jin-Yi Cai and Vinay Choudhary

After some more literature search, it appears that the complexity of counting the edge covers in a graph was shown to be #P-complete in bordewich2008path, Appendix A.1. (This assumes arbitrary graphs as input, i.e., they cannot enforce any assumptions on the input graph, except that they observe that the minimal degree can be made arbitrarily large). (bordewich2008path further indicates that the result is claimed without proof in bubley1997graph.) This result predates those of Cai, Lu, and Xia referenced as (1) in Tyson Williams' answer, and it does not rely on holographic theory.

Specifically, the result relies on the #P-hardness of counting independent sets in 3-regular graphs shown in greenhill2000complexity (improving on the analogous result for graphs of degree at most 4 shown in vadhan1997complexity), and proves the result using the technique of bubley1997graph.

A stronger result, namely, the hardness of counting edge covers in a bipartite graph of degree at most four (further imposing that the edge set can be partitioned into four matchings) was studied independently in khanna2011queries, Appendix B.1, again without holographic tools. They rely on the hardness of counting independent sets in 3-regular bipartite graphs (shown in xia2006regular by a refinement of the interpolation method of vadhan1997complexity) and then they apply a refinement of the technique of bordewich2008path.

An even stronger result (hardness of counting edge covers in a bipartite 2-3 regular graph, i.e., a bipartite graph where all vertices on one side have degree 2 and all vertices on the other side have degree 3, which is additionally planar) can be shown using the results of xia2006regular and cai2008holographic. The explanations for this appear as Appendix D of the latest version of our PODS'17 paper. In this case, we checked rather carefully that the result holds for simple graphs, i.e., for graphs that have neither self-loops nor multi-edges (see the comments to Tyson Williams' answer).

For hardness on planar 3-regular graphs, an argument is given in Tyson Williams' answer, but it would seem that it allows multi-edges and self-loops in the graphs.

References:

• bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinski, Path Coupling Using Stopping Times and Counting Independent Sets and Colourings in Hypergraphs, 2008.
• bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, Graph orientations with no sink and an approximation for a hard case of #SAT, 1997. No open-access version seems available online. :-(
• cai2008holographic: J. Cai, P. Lu, M. Xia, Holographic reduction, interpolation and hardness, 2008
• greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, The complexity of counting colourings and independent sets in sparse graphs and hypergraphs, 2000
• khanna2011queries: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, Queries with Difference on Probabilistic Databases, 2011.
• vadhan1997complexity: Salil P. Vadhan, The Complexity of Counting in Sparse, Regular, and Planar Graphs, 1997. Some results probably originally appeared in a thesis, but I didn't check.
• xia2006regular: Mingji Xia, Wenbo Zhao, #3-Regular Bipartite Planar Vertex Cover is #P-Complete, 2006. No open-access version seems available online. :-( Note that the first author is also an author of (1) in Tyson Williams' answer.

Diclaimer: I only had a superficial look at these papers and I am not an expert in this field, so there may be errors in my summary above.

Thanks to an anonymous PODS'17 referee for pointing me to khanna2011queries, which is what prompted me to write this answer.